§ 66. Масса, импульс и энергия в СТО

Определения и обозначения

Собственная масса — инвариантная масса тела, обозначаемая m₀. Она одинакова во всех инерциальных системах отсчёта и не зависит от движения тела относительно наблюдателя. Эта величина служит постоянной характеристикой самого тела.

Релятивистская масса задаётся формулой m = m₀/√(1 − v²/c²). Она учитывает скорость v тела в выбранной системе отсчёта и увеличивается при приближении v к c. Через неё удобно записывать релятивистские импульс и энергию.

Релятивистский импульс равен p = mv = m₀v/√(1 − v²/c²). При малых скоростях он почти совпадает с классическим импульсом m₀v. При больших скоростях эта поправка необходима для применения законов сохранения.

Полная энергия тела определяется как E = mc². При отсутствии движения она не исчезает, а равна энергии покоя E₀ = m₀c². Поэтому даже неподвижное тело обладает энергией, связанной с его собственной массой.

Как это устроено

В классической механике одни и те же законы используют в разных инерциальных системах, связывая измерения преобразованиями Галилея. Но постулаты СТО требуют, чтобы скорость света имела одно и то же значение c для всех таких наблюдателей. Преобразования Лоренца заменяют преобразования Галилея и меняют правила сложения скоростей, измерения времени и координат. Поэтому привычные выражения для импульса и энергии нужно изменить так, чтобы законы сохранения сохраняли форму в любой инерциальной системе.

Согласование закона сохранения импульса с преобразованиями Лоренца приводит к множителю 1/√(1 − v²/c²). Собственную массу считают постоянной, а зависимость от скорости включают в релятивистскую массу: m = m₀/√(1 − v²/c²). При v = 0 этот множитель равен единице, а при v, близкой к c, он быстро растёт. Так получается выражение, совместимое одновременно с принципом относительности и законами сохранения.

Релятивистский импульс p = m₀v/√(1 − v²/c²) при v ≪ c превращается в m₀v, потому что v²/c² становится очень малой величиной. При скоростях, сравнимых со скоростью света, знаменатель заметно меньше единицы, поэтому классическая формула недооценивает импульс. Чем ближе скорость к c, тем сильнее растёт импульс и тем труднее дальнейшее ускорение тела.

Связь E = mc² объединяет полную энергию с релятивистской массой. Для неподвижного тела m = m₀, поэтому E = E₀ = m₀c²: энергия покоя существует независимо от движения. Если тело движется, полная энергия включает энергию покоя и кинетическую энергию, то есть Eк = E − E₀.

Из релятивистских выражений для энергии и импульса исключают скорость и получают E² = p²c² + m₀²c⁴. Это соотношение удобно, когда скорость неизвестна, но известны импульс и собственная масса. Для частицы без собственной массы оно переходит в E = pc, а для неподвижного тела — в E = m₀c².

При β = v/c обе величины, показанные на графике, растут по-разному: m/m₀ начинается с единицы, а p/(m₀c) — с нуля. При β, близком к единице, обе кривые резко поднимаются. Это наглядно показывает, почему достижение скорости света для массивного тела невозможно.

Масса, импульс и энергия тела в СТО

В первых двух столбцах собраны основные определения и формулы СТО, а последние два показывают важные предельные случаи. Для неподвижного тела достаточно положить v = 0, тогда импульс исчезает, но энергия остаётся. При малой скорости можно использовать классические приближения, однако при v, близкой к c, нужно возвращаться к точным формулам.

Разбор задач

Задача 1

Тело с собственной массой m₀ движется со скоростью 0,6c. Требуется найти его релятивистскую массу. Удобно сначала вычислить безразмерное отношение v/c, чтобы не переводить скорость в метры в секунду.

1. Используем формулу m = m₀/√(1 − v²/c²).
2. Подставляем v/c = 0,6: m = m₀/√(1 − 0,6²) = m₀/√0,64.
3. Так как √0,64 = 0,8, получаем m = 1,25m₀.

Ответ: релятивистская масса равна 1,25m₀. Она на 25% больше собственной массы, потому что скорость уже составляет 60% скорости света.

Задача 2

Частица с собственной массой m₀ движется со скоростью 0,8c. Нужно найти релятивистский импульс и сравнить его с классическим значением m₀v. Сначала вычислим множитель, который отличает релятивистскую формулу от классической.

1. По формуле p = m₀v/√(1 − v²/c²).
2. При v/c = 0,8 знаменатель равен √(1 − 0,64) = 0,6.
3. Поэтому p = m₀·0,8c/0,6 = 4m₀c/3.
4. Классическое значение pкл = m₀v = 0,8m₀c.

Ответ: релятивистский импульс равен примерно 1,33m₀c, а классический — 0,8m₀c. Релятивистский результат в 1,67 раза больше, поэтому при 0,8c классическая формула уже заметно ошибается.

Задача 3

Частица имеет собственную массу m₀ и импульс p. Требуется определить полную и кинетическую энергии. Скорость в условии не дана, поэтому формулу E = mc² напрямую применить неудобно.

1. Используем связь E² = p²c² + m₀²c⁴.
2. Берём положительный корень, поскольку энергия частицы положительна: E = √(p²c² + m₀²c⁴).
3. Энергия покоя равна E₀ = m₀c².
4. Кинетическая энергия получается вычитанием: Eк = E − E₀.

Ответ: E = √(p²c² + m₀²c⁴), а Eк = √(p²c² + m₀²c⁴) − m₀c². Такой способ работает без предварительного нахождения скорости.

Типичные ошибки

Смешивать собственную и релятивистскую массу. Собственная масса инвариантна, а релятивистская зависит от скорости в выбранной системе. Проверка: в условии с индексом 0 должна стоять величина, не меняющаяся при смене системы.

Нарушать единицы скорости. Подстановка километров в час вместе со скоростью света в метрах в секунду даёт неверный результат. Сначала найдите безразмерное отношение v/c и убедитесь, что оно меньше единицы.

Использовать p = m₀v при любой скорости. Эта формула является только приближением для v ≪ c, но её часто применяют по привычке из классической механики. Сравните v с c: если скорость заметная доля скорости света, используйте p = m₀v/√(1 − v²/c²).

Считать, что неподвижное тело не имеет энергии. Нулевая скорость означает нулевой импульс, но не нулевую полную энергию. Подстановка v = 0 сразу даёт E₀ = m₀c².

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны классические определения массы, импульса и кинетической энергии, а также смысл инерциальной системы отсчёта. Формулы СТО опираются на её постулаты и преобразования Лоренца, которые объясняют зависимость измеряемых величин от скорости.

Связь E² = p²c² + m₀²c⁴ особенно важна в ядерной физике и физике элементарных частиц. В таких процессах энергия покоя может переходить в кинетическую энергию, излучение и другие формы энергии.

Что запомнить

• Собственная масса m₀ не зависит от выбора инерциальной системы отсчёта.
• Релятивистская масса определяется формулой m = m₀/√(1 − v²/c²).
• Релятивистский импульс равен p = mv.
• Полная энергия тела равна E = mc².
• Энергия покоя равна E₀ = m₀c².
• Энергия, импульс и собственная масса связаны равенством E² = p²c² + m₀²c⁴.