"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Твёрдое тело — удобная физическая модель, в которой расстояния между любыми точками не меняются. Она позволяет описывать движение сложного предмета через движение его точек и различать два основных вида: поступательное и вращательное. При поступательном движении все точки имеют одинаковые скорости и ускорения, а при вращении одинаковыми остаются угловые характеристики. Линейная скорость вращающейся точки зависит от расстояния до оси.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Твёрдое тело — модель, в которой расстояния между любыми точками остаются неизменными. Она нужна, чтобы не учитывать деформации и описывать движение большого тела через движение отдельных точек.
Поступательное движение — движение, при котором любой отрезок тела перемещается параллельно самому себе. Все точки за один и тот же момент имеют одинаковые скорость и ускорение, поэтому достаточно изучить движение одной точки.
Вращательное движение — движение тела вокруг неподвижной оси. Каждая точка, не лежащая на оси, движется по окружности, центр которой находится на этой оси.
Угловая скорость показывает быстроту изменения угла поворота: ω = Δφ/Δt. Она одинакова для всех точек вращающегося тела, а линейная скорость точки определяется расстоянием до оси: v = ωr.
Модель твёрдого тела связывает движение всех его точек: если известны положение и движение одних точек, расстояния до остальных должны сохраняться. Поэтому тело нельзя рассматривать как набор независимых частиц. Такая модель особенно удобна, когда деформациями можно пренебречь.
При поступательном движении соединяющий две точки отрезок не меняет направления. За одинаковое время обе точки смещаются на один и тот же вектор, иначе расстояние между ними изменилось бы. Поэтому их скорости и ускорения равны, а траектории имеют одинаковую форму.
При вращении все точки поворачиваются на одинаковый угол за одинаковое время: тело сохраняет форму и вращается как единое целое. Поэтому угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение одинаковы для всех точек. Линейные характеристики не одинаковы, потому что точки находятся на разных расстояниях от оси.
Рассмотрим точку на окружности радиуса r. За время Δt она проходит дугу s = rΔφ, поэтому v = s/Δt = rΔφ/Δt = ωr. Если угловая скорость меняется, возникает касательное ускорение: aτ = εr, где ε — угловое ускорение; оно изменяет величину скорости. Даже при постоянной ω направление скорости меняется, поэтому появляется центростремительное ускорение an = v²/r = ω²r, направленное к оси.
Реальное движение может включать оба вида сразу. Например, при качении колеса его центр поступательно перемещается, а само колесо вращается вокруг оси. Для качения без проскальзывания скорость центра связана с угловой скоростью формулой v = ωR.
| Свойство | Поступательное движение | Вращательное движение |
|---|---|---|
| Движение отрезка, соединяющего две точки тела | Остаётся параллельным самому себе | Изменяет направление, поворачиваясь вокруг оси |
| Траектории точек | Одинаковые по форме и направлению; при прямолинейном движении — прямые | Окружности с центрами на оси вращения |
| Скорости точек | Одинаковы по величине и направлению | Направлены по касательным; величина зависит от расстояния до оси: v = ωr |
| Ускорения точек | Одинаковы у всех точек | Состоят из касательного и центростремительного; зависят от r |
| Основная характеристика | Линейная скорость v | Угловая скорость ω |
| Пример | Движение кабины лифта или саней без поворота | Вращение колеса, диска или вентилятора |
Сначала определите, меняется ли ориентация тела. Затем сравните скорости разных точек: их равенство характерно для поступательного движения, а зависимость от расстояния до оси — для вращения.
Если тело одновременно перемещается и поворачивается, используйте признаки обоих движений. Таблица помогает выбрать подходящую характеристику и формулу.
Кабина лифта за 8 с переместилась вверх на 24 м. Найдём среднюю скорость и определим, одинаковы ли скорости её точек.
Ответ: v = 3 м/с; скорости всех точек одинаковы.
Колесо вращается с угловой скоростью 10 рад/с, его радиус равен 0,3 м. Найдём линейную скорость точки обода и её центростремительное ускорение.
Ответ: линейная скорость равна 3 м/с, центростремительное ускорение — 30 м/с².
Колесо радиусом 0,4 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Определим угловую скорость и сравним скорости верхней и нижней точек относительно дороги.
Ответ: ω = 5 рад/с; верхняя точка движется со скоростью 4 м/с, нижняя в данный момент покоится относительно дороги.
Ошибка 1. Считать линейные скорости всех точек вращающегося тела одинаковыми. Так происходит, если смешивают угловые и линейные характеристики; проверка проста: используйте v = ωr и сравните расстояния до оси.
Ошибка 2. Путать ω и v или забывать радиус в формуле. Угловая скорость описывает поворот всего тела, а линейная относится к конкретной точке; проверьте единицы: рад/с и м/с.
Ошибка 3. Называть движение поступательным только потому, что центр масс идёт по прямой. Тело может одновременно поворачиваться, поэтому нужно проверить, сохраняет ли соединяющий точки отрезок направление.
Ошибка 4. Объединять касательное и центростремительное ускорения. Касательное изменяет величину скорости, а центростремительное — её направление; при постоянной ω первое равно нулю, но второе остаётся.
До изучения темы нужны кинематические характеристики точки, векторы скорости и ускорения, движение по окружности и радианная мера угла. Они позволяют перейти от перемещения точки к описанию движения всего тела.
Знания пригодятся при изучении динамики вращения, момента силы и закона сохранения момента импульса. Они также необходимы для анализа колёс, механизмов и других движущихся систем.
Почему при вращении разные точки одного тела имеют разные линейные скорости?
За одинаковое время все точки поворачиваются на один и тот же угол, но точки дальше от оси проходят более длинные дуги. Поэтому их линейные скорости различаются: v = ωr.
Может ли тело двигаться поступательно по окружности?
Да, если тело перемещается по окружности, но при этом не поворачивается относительно самого себя. Тогда любой отрезок тела сохраняет параллельность самому себе, хотя траектории точек будут криволинейными.
Чем угловая скорость отличается от линейной?
Угловая скорость показывает, на какой угол тело поворачивается за единицу времени, и измеряется в рад/с. Линейная скорость показывает, какой путь проходит конкретная точка за единицу времени; она равна v = ωr.
Почему точка на оси вращения имеет нулевую линейную скорость?
Расстояние такой точки до оси равно нулю: r = 0. Поэтому из формулы v = ωr следует v = 0, хотя всё тело может вращаться.
Как определить, является ли движение тела поступательным, вращательным или их сочетанием?
Проверьте, сохраняет ли любой отрезок тела направление. Если да, движение поступательное; если тело поворачивается вокруг неподвижной оси, оно вращательное. Когда тело одновременно перемещается и поворачивается, движение является сочетанием этих двух видов.
§ 11. Поступательное и вращательное движения твёрдого тела
