§ 12. Сложение поступательного и вращательного движений. Плоское движение. Мгновенная ось вращения

Определения и обозначения

Поступательное движение — движение твёрдого тела, при котором любой отрезок тела остаётся параллельным самому себе. Все точки за одинаковое время получают одинаковые перемещения и имеют одинаковые по модулю и направлению скорости. Поэтому для описания такого движения достаточно знать скорость одной точки.

Вращательное движение — движение тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость ω показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Точка на расстоянии r от оси движется со скоростью v = ωr: чем дальше точка от оси, тем быстрее она перемещается.

Плоское движение — движение, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях. Его удобно рассматривать как сумму поступательного движения выбранной точки и вращения тела относительно неё. Это описание позволяет отдельно учитывать перенос и поворот.

Мгновенная ось вращения — линия, проходящая через мгновенный центр вращения перпендикулярно плоскости движения. В данный момент точки этой линии не имеют скорости, потому что их расстояние до мгновенной оси равно нулю. Через следующий момент положение оси может измениться.

Как это устроено

Выберем на теле точку O и сначала мысленно перенесём всё тело так, чтобы точка O оказалась в нужном положении. После этого тело можно повернуть вокруг O на требуемый угол. Такой перенос не изменяет взаимное расположение точек, а поворот сохраняет расстояния между ними, поэтому два действия вместе точно воспроизводят плоское движение твёрдого тела.

Для любой точки A скорость складывается из скорости выбранной точки O и скорости A относительно O: v⃗A = v⃗O + v⃗A/O. Первая составляющая одинакова для всех точек, а вторая зависит от положения точки относительно O и угловой скорости. Именно поэтому точки тела при общем движении могут иметь разные направления и значения скоростей.

При вращении точка движется по окружности с центром на оси, поэтому мгновенное направление её движения является касательным к этой окружности. Касательная перпендикулярна радиусу, а за малое время точка проходит путь, пропорциональный радиусу и углу поворота. Отсюда следует формула v = ωr.

Чтобы найти мгновенный центр, через каждую из двух точек проводят прямую, перпендикулярную её скорости. Центр должен лежать на такой прямой: радиус к точке перпендикулярен касательной скорости. Пересечение двух прямых и есть искомый центр; расстояния до него позволяют проверить результат по равенствам v₁ = ωr₁ и v₂ = ωr₂.

Качение без скольжения можно представить как поступательное движение центра колеса и его вращение вокруг центра. В нижней точке вращательная скорость направлена против движения центра и равна ему по модулю, поэтому результирующая скорость равна нулю. Это не означает, что точка навсегда неподвижна: при дальнейшем вращении она покидает контакт с опорой.

Сравнение поступательного, вращательного и плоского движений твёрдого тела

Таблица помогает выбрать модель движения по наблюдаемым признакам. Если тело только переносится, скорости всех точек одинаковы; если вращается, они зависят от расстояния до оси. В плоском движении нужно складывать соответствующие составляющие векторов.

Разбор задач

Колесо, катящееся без скольжения

Колесо радиуса R катится вправо со скоростью центра v. Найдём скорости верхней точки, точки контакта с дорогой и боковой точки на уровне центра.

1. Представим движение как перенос со скоростью v вправо и вращение вокруг центра с угловой скоростью ω = v/R.
2. В верхней точке вращательная скорость направлена вправо и равна v. С поступательной скоростью она складывается, поэтому скорость равна 2v вправо.
3. В точке контакта вращательная скорость направлена влево и равна v. Она компенсирует поступательную, так что скорость равна нулю.
4. У боковой точки вращательная скорость направлена вертикально. Поэтому она перпендикулярна поступательной, а результирующий модуль равен √(v² + v²) = v√2.

Ответ: верхняя точка движется со скоростью 2v, точка контакта в данный момент неподвижна, боковая точка имеет скорость v√2 под углом 45° к горизонтали.

Стержень и мгновенный центр

Концы стержня длиной L движутся перпендикулярно стержню со скоростями v₁ и v₂, направленными в противоположные стороны. Нужно определить положение центра и угловую скорость.

1. Проведём через оба конца прямые, перпендикулярные их скоростям. Они совпадают со стержнем, поэтому центр лежит на его продолжении.
2. Так как скорости противоположны, центр находится между концами. Обозначим расстояние от первого конца до центра через r₁, тогда расстояние до второго конца r₂ = L − r₁.
3. Для одного вращения угловая скорость одинакова: v₁/r₁ = v₂/r₂. Отсюда r₁ = v₁L/(v₁ + v₂), а r₂ = v₂L/(v₁ + v₂).
4. После нахождения расстояний вычисляем ω = v₁/r₁ = (v₁ + v₂)/L.

Ответ: мгновенный центр делит стержень в отношении v₁ : v₂, а угловая скорость равна ω = (v₁ + v₂)/L. Если направления скоростей одинаковы, центр находится вне стержня, и нужно использовать направленные, а не только положительные расстояния.

Диск с поступательным и вращательным движением

Центр диска движется со скоростью v₀ вправо, диск вращается по часовой стрелке с угловой скоростью ω. Требуется найти скорость точки обода и проверить положение мгновенного центра.

1. Для выбранной точки складываем скорость центра v⃗₀ со скоростью вращения v⃗отн, направленной по касательной. Для верхней точки обе скорости направлены вправо, поэтому v = v₀ + ωR.
2. Мгновенный центр должен находиться ниже центра, потому что вращательная скорость центра относительно него направлена вправо. Его расстояние от центра равно r = v₀/ω.
3. Если v₀/ω ≤ R, центр лежит внутри диска или на его границе. Если v₀/ω > R, он находится вне диска, хотя остаётся центром мгновенного вращения плоского движения.

Ответ: скорость любой точки находят векторным сложением v⃗ = v⃗₀ + v⃗отн; для верхней точки она равна v₀ + ωR. Мгновенный центр расположен ниже центра на расстоянии v₀/ω и находится внутри диска только при v₀/ω ≤ R.

Типичные ошибки

Складывают модули скоростей. Поступательная и вращательная скорости могут быть направлены под углом или противоположно, поэтому складывать нужно векторы. Проверка: сначала нарисуйте стрелки, затем определите направление результирующей.

Считают мгновенную ось неизменной. Её иногда путают с постоянной осью обычного вращения, потому что обе называют осями. Проверьте, не изменились ли скорости точек: если изменились, положение мгновенной оси обычно тоже меняется.

Называют контакт колеса неподвижным всегда. Нулевая скорость относится только к конкретному моменту, а не ко всей траектории точки. Представьте несколько последовательных положений колеса: одна и та же материальная точка сменит место контакта.

Применяют v = ωr без поступательной составляющей. Эта формула описывает вращательную скорость относительно выбранной или мгновенной оси, но не обязательно полную скорость точки. Сначала разложите движение, а затем сложите составляющие векториально.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны сложение векторов, относительное движение, понятие скорости точки и угловой скорости. Полученные методы применяются при анализе качения без скольжения, движения рычагов и шарнирных механизмов. Далее они помогают исследовать динамику твёрдого тела, моменты сил и кинематические связи.

Что запомнить

• Плоское движение твёрдого тела можно представить как поступательное движение выбранной точки и вращение вокруг неё.
• Скорость точки складывается из скорости выбранной точки и относительной скорости при вращении.
• При вращении скорость точки перпендикулярна радиусу до оси, а её модуль равен v = ωr.
• Мгновенный центр вращения — точка плоскости движения, скорость которой в данный момент равна нулю.
• Мгновенная ось вращения проходит через мгновенный центр перпендикулярно плоскости движения.
• При качении без скольжения мгновенный центр находится в точке контакта колеса с опорой.
• Положение мгновенного центра и оси может изменяться от одного момента к другому.