§ 2. Перемещение. Путь

Определения и обозначения

Траектория — линия, которую описывает материальная точка при движении. Она может быть прямой, дугой или другой кривой: форма зависит от характера движения. По траектории можно понять, каким маршрутом перемещалось тело.

Путь — длина участка траектории, пройденного телом за рассматриваемый промежуток времени. Его обозначают буквой s и измеряют в метрах (м). Путь показывает, сколько «дороги» накопилось за время движения.

Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положения тела. Его рассматривают как вектор перемещения Δr⃗. Оно показывает не длину маршрута, а результат изменения положения тела.

Вектор перемещения — вектор, начало которого совпадает с начальным, а конец — с конечным положением тела. Его модуль |Δr⃗| равен расстоянию между этими точками, а направление идёт от начальной точки к конечной. Поэтому для перемещения важны и величина, и направление.

Как это устроено

Одних начального и конечного положений недостаточно, если нужно описать всё движение. По ним можно узнать перемещение, но нельзя определить, какой длины был маршрут. Например, тело могло пройти прямо или сделать большой крюк между теми же точками.

Путь находят по траектории: мысленно измеряют длину всех её участков и складывают их. Поэтому он зависит от каждого поворота, возврата и обхода препятствий. Два тела могут начать и закончить движение в одинаковых точках, но пройти разные пути.

Вектор перемещения строят только по начальной и конечной точкам. Его не проводят вдоль извилистой траектории, а соединяют точки напрямую направленным отрезком. Поэтому при криволинейном движении он обычно не совпадает с путём: путь идёт по маршруту, а перемещение показывает кратчайший результат изменения положения.

Путь является скалярной величиной, то есть имеет только числовое значение и единицу измерения. Перемещение является векторной величиной, поэтому при его сложении учитывают направления: противоположные участки могут частично или полностью компенсировать друг друга. В записи различают путь s и вектор Δr⃗, а для сравнения часто используют его модуль |Δr⃗|.

Любая ломаная или кривая траектория не короче отрезка, соединяющего её начало и конец, поэтому s ≥ |Δr⃗|. Равенство возможно, когда тело движется по прямой в одном направлении и не возвращается назад. При изменении направления или движении по кривой путь становится больше модуля перемещения.

Сравнение пути и перемещения

Таблицу удобно использовать, чтобы выбрать нужную величину перед решением задачи. Сначала определите, спрашивается ли длина маршрута или изменение положения, затем проверьте, нужно ли учитывать направление. Для сравнения пути с перемещением используют именно модуль вектора перемещения.

Разбор задач

Автомобиль проехал 300 м по прямой дороге в одном направлении. Определить путь и модуль перемещения.

Автомобиль двигался по прямой и не менял направление. Значит, его траектория — отрезок длиной 300 м. Начальная и конечная точки находятся на концах этого же отрезка.

1. Путь равен длине пройденной дороги: s = 300 м.
2. Перемещение соединяет начальную и конечную точки, поэтому его модуль равен длине того же отрезка.
3. Получаем |Δr⃗| = 300 м.

Ответ: путь s = 300 м, модуль перемещения |Δr⃗| = 300 м. Равенство получилось из-за прямолинейного движения в одном направлении.

Тело переместилось из точки A в точку B, а затем вернулось в точку A. Найти пройденный путь и перемещение.

Пусть расстояние между A и B равно L. Тело прошло участок A—B и такой же участок B—A. Начальная и конечная точки совпали, хотя движение действительно происходило.

1. Складываем длины двух участков: s = L + L = 2L.
2. Вектор перемещения строим от начальной точки A к конечной точке A.
3. Так как эти точки совпадают, Δr⃗ = 0.

Ответ: путь s = 2L, перемещение равно нулю. Путь учитывает движение туда и обратно, а перемещение — только итоговое положение.

Пешеход прошёл 3 км на восток, затем 4 км на север. Определить путь, модуль перемещения и его направление.

Участки пути направлены перпендикулярно, поэтому их длины складываются для пути, но перемещение находят как диагональ прямоугольного треугольника. Восточное и северное направления образуют его катеты. Направление перемещения будет северо-восточным.

1. Путь: s = 3 + 4 = 7 км.
2. Модуль перемещения: |Δr⃗| = √(3² + 4²) = 5 км.
3. Угол к восточному направлению задаётся соотношением tg α = 4/3, то есть α ≈ 53° к северу от востока.

Ответ: путь равен 7 км, модуль перемещения — 5 км. Вектор направлен на северо-восток, примерно под углом 53° к направлению на восток.

Типичные ошибки

Ошибка: считать путь и перемещение одной величиной, потому что оба измеряются в метрах. Их физический смысл разный: путь описывает маршрут, а перемещение — изменение положения. Проверьте себя вопросом: требуется длина дороги или направленный отрезок между двумя точками?

Ошибка: находить перемещение сложением длин всех участков. Так находят путь, а перемещение нужно строить по начальной и конечной точкам с учётом направлений. Нарисуйте маршрут и соедините его начало с концом.

Ошибка: утверждать, что при возвращении назад перемещение равно пройденному пути. При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю, но путь складывает оба участка движения. Проверка проста: совпадают ли начальная и конечная точки?

Ошибка: записывать перемещение без направления или считать его всегда положительным числом. Вектор имеет направление, а его модуль является отдельной неотрицательной величиной. В ответе указывайте, говорите ли вы о Δr⃗ или о |Δr⃗|.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны представления о механическом движении, материальной точке и системе отсчёта. Координаты тела позволяют точно задавать его начальное и конечное положения. Без них невозможно однозначно построить перемещение.

Перемещение понадобится при изучении скорости. Скорость связывает изменение положения тела с промежутком времени, поэтому направление перемещения становится существенным.

Различие пути и перемещения используется в задачах о движении по прямой, плоскости и сложным траекториям. Оно помогает выбрать правильную формулу и не спутать длину маршрута с результатом движения.

Что запомнить

• Путь — длина пройденного участка траектории.
• Перемещение соединяет начальное и конечное положения тела.
• Путь — скалярная величина, перемещение — векторная.
• Путь не меньше модуля перемещения.
• При возвращении в исходную точку перемещение равно нулю.
• Путь и модуль перемещения равны при прямолинейном движении в одном направлении.