§ 3. Скорость

Определения и обозначения

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту и направление движения тела. Обычно её обозначают v⃗. Это позволяет описать не только то, насколько быстро движется тело, но и куда оно направляется.

Модуль скорости — скалярная величина, равная отношению пути к промежутку времени при равномерном движении: v = s/t. Модуль не имеет направления и измеряется, например, в метрах в секунду (м/с) или километрах в час (км/ч). Он нужен, когда требуется сравнить быстроту движения.

Средняя скорость — отношение перемещения или пройденного пути к общему времени движения. Векторная средняя скорость вычисляется по перемещению, а средняя путевая скорость — по всему пути. Такое различие помогает правильно описывать движение с поворотами и остановками.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. Её направление совпадает с направлением движения по траектории, то есть направлено по касательной к ней. Мгновенная скорость нужна, когда движение меняется и одной средней характеристики недостаточно.

Как это устроено

Скорость должна включать направление, потому что одинаковая быстрота не означает одинаковое движение. Например, два автомобиля могут ехать со скоростью 60 км/ч, но один — на север, а другой — на юг. Их модули скорости одинаковы, а векторы скорости различны, поэтому скорость является векторной величиной.

Формула скорости получается из сравнения перемещения с промежутком времени: v⃗ = Δr⃗/Δt. Она показывает, какое перемещение приходится на единицу времени. При равномерном движении за равные промежутки времени происходят равные перемещения, поэтому отношение остаётся постоянным и скорость не меняется.

Путь и перемещение описывают разные стороны движения. Путь равен длине всей пройденной траектории и не имеет направления, а перемещение соединяет начальную и конечную точки направленным отрезком. Если тело вернулось в исходную точку, перемещение равно нулю, хотя путь может быть большим, поэтому подменять эти величины нельзя.

Средняя скорость относится ко всему выбранному промежутку движения. Если уменьшать этот промежуток около некоторого момента, отношение малого перемещения ко времени всё точнее показывает движение именно в этот момент. В пределе такого перехода получают мгновенную скорость, которая может изменяться от точки к точке.

На графике координаты x от времени t скорость определяют по наклону: v = Δx/Δt. Чем круче прямая, тем больше модуль скорости; наклон вниз означает движение в отрицательном направлении координатной оси. Прямая с постоянным наклоном соответствует равномерному движению, а меняющийся наклон — неравномерному.

Виды скорости и способы их определения

Сравнивайте сначала физический смысл величины, затем выбирайте формулу. Особенно важно определить, идёт ли речь о длине траектории или о перемещении. Направление указывается только для векторных величин, а единицы должны быть согласованы.

Разбор задач

Задача 1

Условие: автомобиль движется равномерно со скоростью 72 км/ч. Какой путь он пройдёт за 15 минут?

1. Переведём время в часы, поскольку скорость дана в километрах в час: 15 мин = 15/60 ч = 0,25 ч.
2. При равномерном движении используем формулу s = vt.
3. Подставим значения: s = 72 км/ч · 0,25 ч = 18 км.

Ответ: автомобиль пройдёт 18 км.

Задача 2

Условие: велосипедист проехал первую половину пути со скоростью 12 км/ч, а вторую — со скоростью 6 км/ч. Найти среднюю путевую скорость.

1. Обозначим весь путь 2s, тогда каждый участок имеет длину s.
2. Времена движения равны t₁ = s/12 и t₂ = s/6. Общее время: tобщ = s/12 + s/6 = s/4.
3. Средняя путевая скорость равна общему пути, делённому на общее время: vср = 2s/(s/4) = 8 км/ч.

Ответ: средняя путевая скорость равна 8 км/ч. Простое среднее (12 + 6)/2 = 9 км/ч здесь неверно, поскольку участки занимают разное время.

Задача 3

Условие: радиус-вектор тела задан формулой r⃗(t) = (3t; 4t) м. Найти перемещение, вектор скорости и её модуль за первые 5 с движения.

1. Начальный радиус-вектор: r⃗(0) = (0; 0), конечный: r⃗(5) = (15; 20) м.
2. Перемещение равно разности: Δr⃗ = r⃗(5) − r⃗(0) = (15; 20) м.
3. Коэффициенты при времени дают постоянные компоненты скорости: v⃗ = (3; 4) м/с.
4. Модуль скорости найдём по теореме Пифагора: v = √(3² + 4²) = 5 м/с.

Ответ: Δr⃗ = (15; 20) м, v⃗ = (3; 4) м/с, v = 5 м/с.

Типичные ошибки

Скорость считают скаляром и не указывают направление, потому что смешивают её с модулем скорости. Ошибка особенно заметна при движении по прямой в противоположных направлениях. Проверьте себя: если направление важно для ответа, используйте вектор и его проекции.

Среднюю скорость находят как среднее арифметическое скоростей участков. Так делают, не учитывая, что разные участки могут занимать разное время. Надёжная проверка — сначала найти общий путь и общее время, а затем разделить одно на другое.

В формуле используют путь вместо перемещения или наоборот. Это происходит из-за того, что обе величины измеряются в метрах, хотя путь скалярен, а перемещение является вектором. Перед вычислением подпишите, какую именно среднюю скорость требуется найти.

Не переводят километры в метры или часы в секунды. В результате в формуле оказываются несогласованные единицы, и число получается неверным. Проверяйте размерность: при скорости в м/с время должно быть в секундах, а путь — в метрах.

Связь с другими темами

До изучения скорости нужны система отсчёта, координаты, траектория, путь, перемещение и векторные величины. Также необходимо уметь переводить единицы времени и длины.

Дальше скорость используется при построении графиков движения и изучении ускорения. По изменению скорости можно описывать равноускоренное движение и находить его характеристики.

Скорость связана с равномерным и равноускоренным движением, а также с задачами на относительное движение. В таких задачах сравнивают скорости тел относительно выбранной системы отсчёта.

Что запомнить

• Скорость характеризует быстроту и направление движения.
• Скорость — векторная величина, а её модуль — скалярная.
• При равномерном движении скорость постоянна.
• Средняя путевая скорость равна общему пути, делённому на общее время.
• Средняя векторная скорость определяется через перемещение.
• Мгновенная скорость описывает движение тела в данный момент.
• На графике координаты от времени скорость определяется наклоном графика.