§ 4. Равномерное прямолинейное движение

Определения и обозначения

Равномерное прямолинейное движение — движение по прямой, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. Это означает, что движение можно описывать без учёта изменений скорости: за каждый одинаковый отрезок времени тело проходит в одном направлении одинаковую часть пути. Такое определение помогает отличить равномерное движение от ускоренного.

Скорость — векторная физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку времени: v = Δr/Δt. При равномерном движении скорость постоянна, поэтому её можно использовать, чтобы найти перемещение за заданное время или время движения. Векторный характер скорости означает, что у неё есть не только значение, но и направление.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела; при движении вдоль оси Ox его проекция равна Δx = x − x₀. Здесь x₀ — начальная координата, а x — координата в конце рассматриваемого промежутка. Проекция нужна, чтобы выражать перемещение числом со знаком и подставлять его в формулы движения.

Уравнение движения — зависимость координаты тела от времени: x = x₀ + vₓt. Оно показывает, где находится тело через время t после начала отсчёта, если его начальная координата и проекция скорости известны. По этому уравнению можно также определить неизвестное время или скорость.

Как это устроено

Постоянство скорости означает, что за одинаковое время перемещение каждый раз одинаково: из определения скорости следует Δr = vΔt. Если промежутки времени равны, а вектор v не меняется, произведение скорости на каждый из этих промежутков также одинаково. Поэтому постоянная скорость в прямолинейном движении приводит именно к равным перемещениям за равные промежутки времени.

Чтобы описать движение, сначала выбирают систему отсчёта: тело отсчёта, связанную с ним координатную ось и способ измерять время. Начало оси удобно разместить в начальном положении тела или в заметной точке дороги, но это не обязательно. Положительное направление выбирают произвольно, однако после выбора его нельзя менять в середине решения: координаты и скорости должны соответствовать одной оси.

Формула координаты получается из определения проекции скорости. За промежуток t проекция перемещения равна Δx = vₓt, а само перемещение — это разность конечной и начальной координат, то есть x − x₀. Приравнивая эти выражения и перенося x₀, получаем x = x₀ + vₓt. Если отсчёт времени начинается не в момент старта тела, в формулу подставляют время, прошедшее от выбранного начала отсчёта.

Знак vₓ сообщает направление движения относительно оси, потому что проекция вектора зависит от того, куда направлена ось. При vₓ > 0 тело движется в положительном направлении Ox, при vₓ < 0 — в противоположном. Модуль скорости не зависит от выбора оси и показывает быстроту движения; его значение неотрицательно. Поэтому нельзя заменять проекцию скорости её модулем, если требуется учитывать направление.

За равные промежутки времени координата равномерно меняется, поэтому зависимость x от t имеет вид линейной функции, а её график — прямая. Наклон прямой показывает, насколько быстро меняется координата: чем он круче, тем больше модуль проекции скорости. Подъём графика вправо соответствует положительному vₓ, а спад — отрицательному. Значение координаты при t = 0 задаёт точку пересечения графика с вертикальной осью.

Величины и формулы равномерного прямолинейного движения

Перед подстановкой проверьте, что время выражено в секундах, длина — в метрах, а скорость — в метрах в секунду. Для перемещения сохраняйте знак проекции, а для пути используйте неотрицательное расстояние. Начальную координату берите из условия или из выбранного начала отсчёта.

Разбор задач

Автомобиль движется по прямому участку дороги со скоростью 72 км/ч. Какое расстояние он пройдёт за 15 мин?

1. Переведём величины в СИ: 72 км/ч = 20 м/с, а 15 мин = 900 с. Это важно, потому что скорость в метрах в секунду нельзя умножать на время в минутах.
2. Автомобиль движется равномерно и в одном направлении, поэтому пройденный путь равен произведению модуля скорости на время: s = vt. Подставляем значения: s = 20 · 900 = 18 000 м.
3. Переведём результат в километры: 18 000 м = 18 км. Проверка здравого смысла: за час автомобиль проходит 72 км, а за четверть часа должен пройти четверть этого расстояния.

Ответ: автомобиль пройдёт 18 км.

Тело движется вдоль оси Ox по закону x = 4 + 3t, где координата измеряется в метрах, а время — в секундах. Найти начальную координату, проекцию скорости и координату через 5 с.

1. Сравним заданное выражение с общей формой равномерного движения x = x₀ + vₓt. Свободный член равен начальной координате, а коэффициент перед t — проекции скорости.
2. Отсюда x₀ = 4 м и vₓ = 3 м/с. Положительный знак проекции показывает, что тело движется в направлении положительной полуоси Ox.
3. Подставим t = 5 с в заданный закон: x = 4 + 3 · 5 = 19 м. Координата, а не перемещение, включает начальное положение тела.

Ответ: x₀ = 4 м, vₓ = 3 м/с, через 5 с координата равна 19 м.

Два велосипедиста движутся навстречу друг другу по прямой дороге. Их начальное расстояние равно 900 м, скорости — 5 м/с и 10 м/с. Через какое время и где произойдёт встреча?

1. Направим ось от первого велосипедиста ко второму, а начало отсчёта поместим в начальное положение первого. Тогда первый движется с v₁ₓ = 5 м/с и x₁ = 5t, а второй начинает в точке x = 900 м и движется против оси: x₂ = 900 − 10t.
2. При встрече координаты одинаковы. Приравняем уравнения: 5t = 900 − 10t, откуда 15t = 900 и t = 60 с.
3. Чтобы найти место встречи, подставим время в первое уравнение: x = 5 · 60 = 300 м. Значит, встреча произойдёт в 300 м от начального положения первого велосипедиста.

Ответ: через 60 с, в точке с координатой 300 м от старта первого велосипедиста.

Типичные ошибки

Подстановка километров и часов в формулу с единицами СИ приводит к неверному результату, потому что величины оказываются выражены в несогласованных единицах. Так часто поступают, когда используют знакомые числа из условия, не проверяя размерность. Перед расчётом переведите скорость в м/с, время — в секунды, а расстояние — в метры. Затем проверьте, что единицы в произведении или частном действительно дают искомую величину.

Если считать скорость всегда положительной, теряется направление движения. Причина — смешение модуля скорости с её проекцией на ось. В уравнении координаты используйте vₓ со знаком: при движении против положительного направления он отрицателен. Проверить знак можно, спросив себя, должна ли координата тела увеличиваться или уменьшаться со временем.

Путь и перемещение — не одно и то же: путь неотрицателен, а проекция перемещения может быть отрицательной. Ошибка появляется, когда расстояние, пройденное телом, принимают за изменение координаты. Найдите разность x − x₀: если тело переместилось против оси, результат будет отрицательным, хотя длина пройденного пути останется положительной. Для задач на путь учитывайте модуль скорости.

Запись x = vt забывает начальную координату и верна лишь при x₀ = 0. Такое упрощение возникает, если начало координат автоматически принимают за место старта тела. Используйте общую формулу x = x₀ + vₓt и отдельно определяйте x₀ из условия. Проверка: при t = 0 формула должна возвращать начальную координату.

Связь с другими темами

Для описания движения нужны система отсчёта, координатная ось, единицы измерения и понимание векторов: без них нельзя задать положение и направление. График координаты развивает навыки чтения графиков и показывает, как изменение величин связано с наклоном прямой. Уравнение равномерного движения служит основой при изучении относительности движения и сложения скоростей, поскольку позволяет сравнивать положения тел в одной системе отсчёта. Оно также используется в задачах на встречу и догоняние: записывают координаты каждого тела и находят момент их равенства.

Что запомнить

• При равномерном прямолинейном движении скорость постоянна.
• За равные промежутки времени тело совершает равные перемещения.
• Основная формула движения: x = x₀ + vₓt.
• Перемещение вдоль оси определяется формулой Δx = vₓt.
• Знак проекции скорости задаёт направление движения относительно оси.
• График координаты x(t) при равномерном движении является прямой.
• Наклон графика x(t) определяет проекцию скорости.