§ 5. Решение задач кинематики равномерного прямолинейного движения. Графический и аналитический способы решения

Определения и обозначения

Равномерное прямолинейное движение — движение по прямой с постоянной скоростью. За равные промежутки времени тело совершает равные перемещения. Это позволяет описывать его положение одной простой формулой.

Координата тела — числовое значение, задающее положение тела на выбранной оси. Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю, смотря где тело находится относительно начала отсчёта. Координата нужна, чтобы точно сравнивать положения тел.

Уравнение координаты при равномерном движении имеет вид x = x₀ + vₓt. Здесь x₀ — начальная координата, vₓ — проекция скорости на ось Ox, а t — время движения. Знак vₓ показывает направление движения относительно оси.

Графический способ решения означает поиск ответа по графику зависимости координаты от времени. Аналитический способ использует уравнения движения и преобразования выражений. Первый способ нагляден, а второй обычно даёт более точный результат.

Как это устроено

Чтобы описать прямолинейное движение, достаточно выбрать ось, начало отсчёта и положительное направление. Ось задаёт, вдоль какой прямой измеряется положение, начало отсчёта определяет нулевую координату, а направление задаёт знаки. Поэтому при другом выборе системы отсчёта координаты и проекции скорости могут измениться, хотя само движение останется тем же.

При постоянной скорости за время t тело получает перемещение, равное vₓt. Его координата складывается из начальной координаты и этого перемещения, поэтому получается x = x₀ + vₓt. Если тело движется против положительного направления оси, vₓ отрицательна, и координата с течением времени уменьшается.

Для построения графика x(t) сначала отмечают точку при t = 0: это точка (0; x₀). Затем используют ещё одну или несколько точек, вычисленных по уравнению координаты, и соединяют их прямой. Положительный vₓ даёт наклон вверх, отрицательный — наклон вниз, а чем больше модуль скорости, тем круче прямая.

Для двух тел на одном графике каждой зависимости соответствует своя прямая. В заданный момент времени проводят мысленную вертикаль до этих прямых и считывают две координаты. Если прямые пересекаются, в момент пересечения у тел одновременно одинаковы время и координата, поэтому эта точка означает встречу.

При аналитическом решении записывают отдельное уравнение координаты для каждого тела. Для встречи координаты приравнивают: x₁(t) = x₂(t), находят время, а затем подставляют его в любое из уравнений. Полученный момент нужно проверить: он должен быть неотрицательным и входить в промежуток, указанный в условии.

Графический и аналитический способы решения задач

Таблица помогает выбрать удобный способ решения и не смешивать действия. График особенно полезен для наглядной оценки, а уравнения — для точных вычислений. Результат одного способа можно проверить другим.

Разбор задач

Задача 1

Тело движется вдоль оси Ox: x₀ = 3 м, vₓ = 2 м/с, t = 4 с. Требуется найти координату тела. Известны все величины, поэтому достаточно применить уравнение координаты.

1. Запишем формулу: x = x₀ + vₓt.
2. Подставим значения: x = 3 м + 2 м/с · 4 с = 11 м.
3. Проверим единицы: произведение скорости на время измеряется в метрах, поэтому его можно складывать с координатой.

Ответ: x = 11 м.

Задача 2

Координаты двух тел заданы формулами x₁ = 2t и x₂ = 12 − t, где координаты измеряются в метрах, а время — в секундах. При встрече тела имеют одну координату в один момент, поэтому приравниваем именно координаты.

1. Составим условие встречи: 2t = 12 − t.
2. Перенесём члены с t в одну сторону: 3t = 12, откуда t = 4 с.
3. Найдём координату встречи: x = 2 · 4 = 8 м. Подстановка во второе уравнение даёт тот же результат: 12 − 4 = 8 м.

Ответ: тела встретятся через 4 с в точке с координатой 8 м.

Задача 3

По графикам для интервала от 0 до 8 с нужно определить положение тел при t = 3 с и момент встречи. Используем уравнения x₁ = 2t и x₂ = 8 − t, которые соответствуют изображённым прямым.

1. При t = 3 с получаем x₁ = 6 м, а x₂ = 5 м, значит, первое тело находится впереди.
2. Для встречи приравниваем координаты: 2t = 8 − t, поэтому 3t = 8 и t = 8/3 с.
3. Подставляем время: x = 2 · 8/3 = 16/3 м. Это значение должно совпасть с координатой точки пересечения на графике.

Ответ: при 3 с впереди первое тело; встреча происходит при t = 8/3 с в точке x = 16/3 м.

Типичные ошибки

Считать скорость всегда положительной. Так делают, потому что в бытовой речи скорость часто называют величиной без направления. Но в уравнении нужна проекция: при движении против оси vₓ отрицательна. Проверьте знак по направлению движения.

Подставлять путь или перемещение вместо координаты. Эти величины не всегда совпадают с положением тела относительно начала отсчёта. Ошибка возникает из-за смешения обозначений. Проверьте, относится ли величина к точке на оси или к пройденному расстоянию.

Строить график без учёта начальной координаты. Иногда прямую автоматически проводят через начало координат, хотя тело могло начать движение из точки x₀ ≠ 0. При t = 0 график обязан проходить через (0; x₀). Это первая точка для проверки построения.

Приравнивать скорости или пути при поиске встречи. Встреча означает совпадение положений в один момент, а не равенство скоростей или расстояний. Поэтому нужно записать x₁ = x₂. После решения подставьте время в оба уравнения и сравните координаты.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужно уметь выбирать ось и систему отсчёта, находить проекцию вектора на ось и пользоваться формулой равномерного движения. Эти навыки определяют правильные знаки и вид уравнений.

Тема служит основой для изучения относительности движения, чтения графиков и задач на встречу или обгон тел. Те же уравнения помогают сравнивать движения объектов, если перейти к другой системе отсчёта.

Что запомнить

• При равномерном прямолинейном движении координата меняется по закону x = x₀ + vₓt.
• Начальная координата x₀ задаёт положение тела при t = 0.
• Наклон графика координаты от времени определяется проекцией скорости.
• Точка пересечения графиков координат двух тел соответствует их встрече.
• В аналитическом способе встречу находят из равенства координат тел.
• После вычислений нужно проверить знаки, единицы измерения и соответствие ответа условию.