"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Сложение движений помогает определить, как движется тело относительно выбранного наблюдателя, если известны его движение и движение системы отсчёта. Скорость зависит от того, кто её измеряет: пассажир, поезд и наблюдатель на земле получат разные значения. Преобразования Галилея связывают координаты, время, скорость и ускорение в двух инерциальных системах, движущихся равномерно и прямолинейно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — тело отсчёта, координатная система и часы, относительно которых описывают движение. Она нужна, чтобы указать, где находится тело и как меняется его положение. Без выбора системы нельзя однозначно назвать координату и скорость.
Относительная скорость — скорость одного тела относительно другого; при прямолинейном движении она определяется разностью скоростей. Например, скорость пассажира относительно поезда может отличаться от его скорости относительно земли. Понятие помогает сравнивать движения разных тел.
Сложение движений — нахождение скорости тела относительно выбранной системы через скорость тела относительно другой системы и скорость самой системы отсчёта. Оно показывает, как движения складываются для наблюдателя. При этом направления скоростей учитывают как направления векторов.
Преобразования Галилея — формулы перехода между координатами и временем в двух системах отсчёта, движущихся равномерно и прямолинейно. Они связывают результаты измерений разных наблюдателей в классической механике. Эти формулы используют для координат, скорости и ускорения.
Описание движения зависит от системы отсчёта, потому что разные наблюдатели по-разному измеряют положение тела. Пассажир в вагоне покоится относительно вагона, но перемещается относительно земли вместе с поездом. Значит, координаты и скорость не являются свойствами тела сами по себе: они зависят от выбранного способа наблюдения.
Закон сложения скоростей следует из сложения перемещений. За время t тело перемещается относительно неподвижной системы на величину, состоящую из его перемещения относительно подвижной системы и перемещения самой подвижной системы. Поэтому для скоростей получается v = v′ + u, где v′ — скорость тела в подвижной системе, а u — скорость этой системы относительно неподвижной.
При прямолинейном движении достаточно выбрать положительное направление и приписать величинам знаки. Если движения направлены одинаково, знаки совпадают и модули складываются. Если направления противоположны, знаки различаются, поэтому результат равен разности модулей; в пространстве тот же закон записывают как векторную сумму.
Пусть система S′ движется вдоль оси x со скоростью u относительно S, а начала координат совпали в момент t = 0. За время t начало S′ сместится на ut, поэтому координаты связаны формулой x = x′ + ut, или x′ = x − ut. При таком выборе направления знак «минус» показывает, что из координаты в S вычитают перемещение подвижной системы.
В классической механике часы в инерциальных системах считаются идущими одинаково, поэтому t′ = t. Дифференцирование связи скоростей даёт v′ = v − u, а постоянная u при повторном дифференцировании исчезает. Поэтому ускорение сохраняется: a′ = a, хотя координаты и скорости могут различаться.
| Величина | Система S | Система S′ | Связь между величинами |
|---|---|---|---|
| Координата тела | x | x′ | x′ = x − ut |
| Время | t | t′ | t′ = t |
| Скорость | v | v′ | v′ = v − u |
| Ускорение | a | a′ | a′ = a |
| Перемещение системы отсчёта | ut | — | x = x′ + ut |
Сначала определите, какая система движется относительно другой, и выберите положительное направление. Затем подставьте величины в строку таблицы, следя за знаками скорости u. Для обратного перехода используйте равенства x = x′ + ut и v = v′ + u.
Условие: лодка движется относительно воды со скоростью 3 м/с, течение направлено со скоростью 2 м/с. Найдём скорость относительно берега по течению и против течения. Положительное направление выберем по течению.
Ответ: по течению лодка движется со скоростью 5 м/с, против течения — со скоростью 1 м/с против течения.
Условие: пассажир идёт со скоростью 1,5 м/с относительно вагона, поезд движется со скоростью 20 м/с относительно земли. За положительное направление примем направление движения поезда. Требуется найти скорость пассажира относительно земли.
Ответ: 21,5 м/с по ходу поезда и 18,5 м/с по ходу поезда при движении пассажира навстречу.
Условие: система S′ движется относительно S со скоростью 4 м/с. В момент отсчёта тело имеет x′ = 6 м и v′ = 3 м/с. Найдём координату и скорость в S через 2 с. Направление движения S′ считаем положительным.
Ответ: через 2 с координата тела в системе S равна 14 м, а скорость — 7 м/с.
Складывать модули скоростей без учёта направлений ошибочно, потому что скорость является векторной величиной. Так поступают, когда видят только числа и забывают выбрать ось. Проверьте себя: нарисуйте стрелки и поставьте знаки.
Нельзя путать скорость тела относительно подвижной системы со скоростью самой системы. Первая описывает движение тела внутри системы, вторая — перенос всей системы относительно другой. Подпишите возле каждой величины, относительно чего она измерена.
Запись x′ = x + ut без анализа направления может изменить знак преобразования. Формула x′ = x − ut соответствует случаю, когда S′ движется в положительном направлении оси x. Проверьте её на начале координат: при x = ut должно получаться x′ = 0.
Иногда считают, что при переходе между инерциальными системами меняется ускорение. Ошибка возникает из-за смешения скорости и ускорения: скорость меняется на постоянную величину, а ускорение — нет. Используйте производную: постоянная добавка к скорости не даёт добавки к ускорению.
Для темы нужны векторы, координатный метод, перемещение, скорость и ускорение. Она опирается на понятие системы отсчёта и равномерное прямолинейное движение. Позже преобразования Галилея помогут понимать законы Ньютона и относительность движения, а также границы применимости классической механики при больших скоростях.
Почему скорость зависит от системы отсчёта?
Скорость показывает изменение координаты со временем, а координата задаётся относительно выбранного тела отсчёта. Поэтому один и тот же пассажир может быть неподвижен относительно вагона и двигаться относительно земли.
Как понять, какую скорость нужно складывать или вычитать?
Нужно записать скорость тела относительно подвижной системы и скорость самой системы относительно неподвижной. Затем выбрать положительное направление и сложить величины с учётом знаков: одинаковые направления дают сумму, противоположные — разность.
Почему при движении навстречу скорости вычитаются?
При встречном движении скорости направлены противоположно, поэтому одна из них получает отрицательный знак. Векторная сумма тогда превращается в алгебраическую разность модулей.
Всегда ли преобразования Галилея применимы?
Они применимы в классической механике для инерциальных систем, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, если скорости намного меньше скорости света. При больших скоростях используют преобразования Лоренца.
Почему ускорение не изменяется при переходе между инерциальными системами?
Скорость одной системы относительно другой постоянна, поэтому при переходе меняется скорость тела только на постоянную величину. Производная постоянной равна нулю, и ускорение остаётся тем же: a′ = a.
§ 6. Сложение движений. Преобразования Галилея
