§ 10. Равномерное прямолинейное движение

Определения и обозначения

Механическое движение — изменение положения тела относительно выбранного тела отсчёта с течением времени. Телом отсчёта называют объект, относительно которого описывают движение. Это определение нужно, чтобы точно указать, по отношению к чему тело движется или покоится.

Равномерное прямолинейное движение — движение по прямой с постоянными по модулю и направлению скоростью. Модуль показывает быстроту движения, а направление — сторону перемещения. Такая модель позволяет использовать одни и те же значения скорости на любом промежутке времени.

Скорость — векторная физическая величина, равная отношению перемещения ко времени движения: v = Δr/t. При равномерном движении она постоянна, а её проекция на ось обозначается vₓ. Скорость нужна, чтобы связать изменение положения тела с продолжительностью движения.

Уравнение движения — зависимость координаты тела от времени: x(t) = x₀ + vₓt. Здесь x₀ — координата в начальный момент, а vₓ — проекция скорости на ось Ox. По этому уравнению можно найти положение тела в любой момент времени.

Как это устроено

Тело можно считать материальной точкой, если его размерами и формой можно пренебречь в данной задаче. Например, при расчёте времени поездки автомобиля между городами размеры автомобиля несущественны, а при изучении вращения колеса — уже важны. Описание движения зависит от тела отсчёта: пассажир сидит неподвижно относительно автобуса, но движется относительно дороги.

При движении по прямой начальная и конечная точки лежат на одной линии, поэтому перемещение направлено вдоль этой прямой. Однако координата может как увеличиваться, так и уменьшаться: всё зависит от того, совпадает ли движение с положительным направлением оси. Если тело движется против оси, его проекция скорости и изменение координаты имеют отрицательный знак.

Постоянная скорость означает, что за равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. Из определения v = s/t после умножения на время получаем s = vt, где s в данном случае обозначает модуль перемещения или путь при движении в одном направлении. В координатной форме это записывается так: Δx = vₓt, поэтому x = x₀ + vₓt.

В уравнении x = x₀ + vₓt координата линейно зависит от времени, значит, её график имеет вид прямой. Свободный член x₀ показывает, где находилось тело при t = 0. Наклон прямой равен отношению изменения координаты к изменению времени, то есть проекции скорости: vₓ = Δx/Δt.

Путь показывает, сколько всего траектории пройдено, а перемещение — насколько изменилось положение и в каком направлении. Если тело всё время движется в одну сторону по прямой, модуль перемещения равен пути. Координата зависит от начала отсчёта: перенос начала оси изменит x₀ и все численные координаты, но не изменит путь, перемещение и скорость.

Характеристики равномерного прямолинейного движения

Таблица помогает выбрать нужную величину и проверить единицы перед вычислением. Если движение задано вдоль оси, удобнее работать с проекциями Δx и vₓ. Для пути используйте модуль перемещения только тогда, когда направление движения не меняется.

Разбор задач

Задача 1. Автомобиль движется равномерно со скоростью 72 км/ч. Какой путь он пройдёт за 15 с? Сначала нужно привести скорость и время к согласованным единицам, потому что единица пути в СИ — метр.

1. Переведём скорость: 72 км/ч = 72 · 1000/3600 м/с = 20 м/с.
2. Используем формулу равномерного движения: s = vt.
3. Подставим значения: s = 20 м/с · 15 с = 300 м.

Ответ: автомобиль пройдёт 300 м.

Задача 2. Тело в момент времени 2 с имело координату 5 м, а в момент времени 8 с — координату 23 м. Найдём проекцию скорости, а затем восстановим начальную координату и уравнение движения.

1. Изменение координаты равно Δx = 23 − 5 = 18 м, а промежуток времени Δt = 8 − 2 = 6 с.
2. Проекция скорости: vₓ = Δx/Δt = 18/6 = 3 м/с.
3. Подставим данные в x = x₀ + vₓt при t = 2 с: 5 = x₀ + 3 · 2, откуда x₀ = −1 м.
4. Уравнение движения: x = −1 + 3t.

Ответ: vₓ = 3 м/с; x(t) = −1 м + 3 м/с · t.

Задача 3. Два велосипедиста движутся навстречу: первый стартует из x = 0 со скоростью 6 м/с, второй — из x = 100 м со скоростью 4 м/с. Выберем положительное направление от первого велосипедиста ко второму, поэтому второй имеет отрицательную проекцию скорости.

1. Запишем координаты: x₁ = 6t, x₂ = 100 − 4t.
2. В момент встречи координаты равны: 6t = 100 − 4t.
3. Получаем 10t = 100, значит, t = 10 с.
4. Место встречи: x = 6 · 10 = 60 м.

Ответ: велосипедисты встретятся через 10 с в точке x = 60 м.

Типичные ошибки

Путь и перемещение. Путь — длина траектории без направления, а перемещение соединяет начальное и конечное положения. Ошибка возникает, когда считают любое изменение координаты пройденным путём. Проверьте, менялось ли направление движения и требуется ли модуль или знак.

Несогласованные единицы. Нельзя умножать скорость в км/ч на время в секундах и получать метры. Так ошибаются из-за механической подстановки чисел в формулу. Перед расчётом приведите все величины к СИ.

Всегда положительная скорость. Положительным обычно является модуль скорости, но её проекция зависит от выбора оси. Если тело движется против положительного направления, vₓ должна иметь знак «минус». Проверьте направление движения относительно оси.

Пропущенная начальная координата. Формула x = vt верна только при x₀ = 0. Если тело начинает движение из другой точки, нужно использовать x = x₀ + vₓt. Подставьте t = 0: полученная формула должна дать исходную координату.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны система отсчёта, координатная ось, единицы длины и времени, а также понятия пути и перемещения. Эти знания позволяют правильно выбрать направление и записать данные задачи.

Равномерное движение служит основой для графиков координаты, относительного движения, равноускоренного движения и задач на встречу тел. В каждой из этих тем важно связывать координату с временем.

Модель используют для описания транспорта, механизмов и приближённых расчётов реальных процессов. Даже если скорость немного меняется, равномерная модель может дать полезную оценку результата.

Что запомнить

• При равномерном прямолинейном движении скорость постоянна.
• Перемещение за время t определяется формулой s = vt.
• Координата тела изменяется по закону x = x₀ + vₓt.
• Знак проекции скорости определяется выбранным направлением оси.
• Наклон графика x(t) равен проекции скорости.
• Ускорение при равномерном движении равно нулю.
• Для решения задач на встречу нужно приравнивать координаты тел в один и тот же момент времени.