§ 11. Ускорение

Определения и обозначения

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости: a = Δv/Δt. Его единица измерения в СИ — м/с². Ускорение нужно, чтобы описывать разгон, торможение и изменение направления движения.

Среднее ускорение — отношение изменения вектора скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло: aср = Δv/Δt. Оно описывает движение сразу за некоторый интервал, а не в одной точке времени. Такая величина удобна, когда известны только начальная и конечная скорости.

Мгновенное ускорение — ускорение тела в данный момент времени. Его находят как предел среднего ускорения при уменьшении промежутка времени: a = lim Δv/Δt при Δt → 0. Оно показывает, как именно изменяется скорость прямо сейчас.

Равноускоренное движение — движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению. В этом случае скорость за равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину. Поэтому для такого движения можно применять простые формулы зависимости скорости и перемещения от времени.

Как это устроено

Одного изменения модуля скорости недостаточно для описания движения, потому что скорость является вектором. Например, при равномерном движении по окружности значение скорости может не меняться, но её направление непрерывно поворачивается. Значит, вектор скорости изменяется, а тело имеет ускорение.

Чтобы получить среднее ускорение, сначала находят изменение скорости Δv = v₂ − v₁, то есть разность конечного и начального векторов. Затем эту разность делят на промежуток времени: aср = Δv/Δt. Деление на положительное число не меняет направления вектора, поэтому ускорение направлено так же, как Δv.

Среднее ускорение относится ко всему выбранному промежутку времени, а мгновенное — к конкретному моменту. Если промежуток сделать достаточно малым, изменение скорости внутри него становится почти равномерным. Поэтому среднее ускорение на таком интервале приближённо равно мгновенному ускорению в близкий момент.

При прямолинейном движении направление ускорения сравнивают с направлением скорости. Если они совпадают, модуль скорости увеличивается, а если направлены противоположно — уменьшается. Однако слова разгон и торможение не заменяют знак: знак определяется выбранной положительной осью.

При постоянном ускорении за время t изменение скорости равно at, поэтому v = v₀ + at. Перемещение можно найти как произведение средней скорости на время: s = ((v₀ + v)/2)t, откуда s = v₀t + at²/2. Эти зависимости применимы только тогда, когда ускорение постоянно.

Виды ускорения и их характеристики

Сначала определите, о каком промежутке времени говорится в условии: конечном или бесконечно малом. Затем проверьте, постоянно ли ускорение, потому что формулы для скорости и перемещения требуют этого условия.

Направление ускорения удобно устанавливать через изменение вектора скорости или выбранную координатную ось. Во всех трёх случаях единица измерения одна — м/с², но смысл величин различается.

Разбор задач

Задача 1

Автомобиль за 5 с увеличил скорость с 10 до 20 м/с. Требуется найти среднее ускорение. Выберем положительное направление вдоль движения автомобиля, поэтому обе скорости имеют положительные значения.

1. Запишем данные: v₀ = 10 м/с, v = 20 м/с, Δt = 5 с.
2. Найдём изменение скорости: Δv = v − v₀ = 20 − 10 = 10 м/с.
3. Разделим изменение скорости на время: aср = Δv/Δt = 10/5 = 2 м/с².

Ответ: среднее ускорение автомобиля равно 2 м/с² и направлено вдоль выбранной положительной оси.

Задача 2

Тело начинает движение из состояния покоя с постоянным ускорением 2 м/с². Нужно определить скорость и путь через 6 с. Состояние покоя означает, что начальная скорость v₀ равна нулю.

1. Запишем данные: v₀ = 0, a = 2 м/с², t = 6 с.
2. Используем формулу скорости: v = v₀ + at = 0 + 2 · 6 = 12 м/с.
3. Для пути применим формулу s = v₀t + at²/2: s = 0 + 2 · 6²/2 = 36 м.

Ответ: через 6 с скорость тела равна 12 м/с, а пройденный путь — 36 м.

Задача 3

Поезд движется со скоростью 25 м/с и равномерно тормозит с ускорением 0,5 м/с². Направим ось по движению поезда, поэтому ускорение при торможении будет a = −0,5 м/с². Остановке соответствует конечная скорость v = 0.

1. Из уравнения v = v₀ + at получаем 0 = 25 − 0,5t, откуда t = 50 с.
2. Для тормозного пути используем s = v₀t + at²/2.
3. Подставим значения: s = 25 · 50 + (−0,5) · 50²/2 = 1250 − 625 = 625 м.

Ответ: поезд остановится через 50 с, его тормозной путь равен 625 м. Отрицательный знак ускорения показывает противоположность направления ускорения и выбранной оси, а не отрицательность самого физического процесса.

Типичные ошибки

Ошибка: считать ускорением отношение изменения модуля скорости ко времени. Так поступают, забывая, что скорость — вектор и может менять направление без изменения модуля. Проверяйте, изменился ли весь вектор скорости, а не только его числовое значение.

Ошибка: путать ускорение со скоростью или записывать его единицу как м/с. Ускорение показывает изменение скорости за время, поэтому единица скорости делится ещё на секунду и получается м/с². Полезно каждый раз проверять размерность формулы.

Ошибка: считать, что при уменьшении скорости ускорение всегда отрицательно. Знак зависит от выбранного направления оси, поэтому при другой оси тот же вектор может иметь положительную координату. Сначала нарисуйте ось и укажите направления скорости и ускорения.

Ошибка: подставлять формулы равноускоренного движения при непостоянном ускорении. Эти формулы получены из условия a = const и без него могут дать неверный результат. Перед вычислениями найдите в условии подтверждение постоянства ускорения.

Связь с другими темами

Для изучения ускорения нужны понятия вектора, скорости, перемещения, разности векторов и равномерного движения. Без них трудно определить направление изменения скорости и правильно выбрать знак величин.

Далее ускорение используется при изучении равноускоренного движения и свободного падения. Оно также входит в законы Ньютона и помогает описывать движение по окружности, где ускорение возникает из-за изменения направления скорости.

Что запомнить

• Ускорение характеризует изменение вектора скорости за единицу времени.
• Единица ускорения в СИ — м/с².
• Среднее ускорение равно отношению изменения скорости ко времени этого изменения.
• Мгновенное ускорение описывает изменение скорости в данный момент.
• Направление ускорения совпадает с направлением изменения вектора скорости.
• При постоянном ускорении скорость изменяется линейно со временем.
• Знак ускорения определяется выбранным направлением оси, а не только разгоном или торможением тела.