§ 12. Прямолинейное движение с постоянным ускорением

Определения и обозначения

Прямолинейное движение — движение тела по одной прямой. Для его описания выбирают координатную ось вдоль этой прямой, начало отсчёта и положительное направление. Тогда координата и скорость получают знак, а направление движения можно учитывать расчётом.

Ускорение — векторная величина, характеризующая изменение скорости за единицу времени: a = (v − v₀)/t. Его обозначают буквой a и измеряют в м/с². Направление ускорения совпадает с направлением изменения скорости, поэтому знак определяется выбранной осью.

Равноускоренное движение — движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению. Поэтому за равные промежутки времени скорость изменяется одинаково. Это позволяет заранее вычислять скорость, координату и перемещение тела.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени, а не за весь промежуток движения. При постоянном ускорении она связана с начальной скоростью формулой v = v₀ + at. Зная v₀, a и t, можно определить состояние тела в любой выбранный момент.

Как это устроено

При постоянном ускорении за каждую секунду скорость изменяется на одну и ту же величину. Например, при a = 2 м/с² за каждую секунду к скорости прибавляется 2 м/с, а при a = −2 м/с² она уменьшается на 2 м/с относительно выбранного направления. Поэтому зависимость скорости от времени изображается прямой линией, а её наклон показывает ускорение.

Из определения ускорения a = (v − v₀)/t умножим обе части на t и перенесём v₀: v = v₀ + at. Здесь знаки нельзя заменять модулями: скорость направлена вдоль оси или против неё, и ускорение тоже может быть положительным либо отрицательным. Если v и a имеют одинаковые знаки, модуль скорости возрастает, а если разные — сначала уменьшается.

Перемещение за время t можно найти через среднюю скорость: Δx = vсрt, где при постоянном ускорении vср = (v₀ + v)/2. Подстановка v = v₀ + at даёт Δx = v₀t + at²/2, поэтому x = x₀ + v₀t + at²/2. Квадратичная зависимость от времени означает, что график координаты имеет вид параболы, а его наклон в каждой точке равен мгновенной скорости.

Координата показывает положение тела, перемещение равно разности x − x₀, скорость описывает изменение координаты, а ускорение — изменение скорости. При заданных x₀, v₀ и a используют уравнения x = x₀ + v₀t + at²/2 и v = v₀ + at. Если время не требуется или не дано, применяют связь v² − v₀² = 2a(x − x₀), полученную исключением времени из основных формул.

Эта формула получается так: из v = v₀ + at выражают t = (v − v₀)/a, а затем подставляют время в перемещение. После преобразований получают v² − v₀² = 2aΔx. Она особенно удобна, когда известны скорости, ускорение и тормозной путь, но время движения неизвестно.

Основные величины и уравнения прямолинейного движения с постоянным ускорением

Сначала определите, какие величины известны в задаче, и выпишите начальные условия. Затем выберите уравнение, содержащее искомую величину и только известные данные. Все значения перед подстановкой нужно выразить в единицах СИ.

Знаки координаты, перемещения, скорости и ускорения зависят от оси, поэтому таблицу используют вместе со схемой направления движения. Если тело меняет направление, анализируйте каждый момент по знаку скорости, а не только по модулю.

Разбор задач

Скорость автомобиля

Автомобиль движется со скоростью 3 м/с и имеет ускорение 2 м/с². Требуется найти скорость через 4 с. Направление движения примем за положительное, поэтому обе величины имеют знак плюс.

1. Записываем данные: v₀ = 3 м/с, a = 2 м/с², t = 4 с.
2. Используем формулу v = v₀ + at.
3. Подставляем: v = 3 + 2 · 4 = 11 м/с.

Ответ: скорость автомобиля через 4 с равна 11 м/с.

Торможение тела

Тело движется со скоростью 20 м/с и тормозит с ускорением −2 м/с². Нужно найти время остановки и тормозной путь. Отрицательный знак ускорения показывает, что оно направлено противоположно начальной скорости.

1. В момент остановки v = 0, поэтому 0 = 20 − 2t, откуда t = 10 с.
2. Находим перемещение: Δx = v₀t + at²/2 = 20 · 10 − 2 · 10²/2 = 100 м.
3. Можно проверить результат формулой без времени: 0² − 20² = 2 · (−2) · Δx, откуда Δx = 100 м.

Ответ: тело остановится через 10 с, тормозной путь равен 100 м.

Встреча двух тел

Два тела движутся по одной прямой; для каждого известны x₀, v₀ и a. Требуется определить момент и координату встречи. Встреча происходит тогда, когда координаты тел становятся одинаковыми.

1. Для первого тела записываем x₁ = x₀₁ + v₀₁t + a₁t²/2, для второго — x₂ = x₀₂ + v₀₂t + a₂t²/2.
2. Приравниваем выражения: x₁(t) = x₂(t), переносим все слагаемые в одну сторону и решаем полученное линейное или квадратное уравнение.
3. Отбрасываем отрицательное время и проверяем оставшиеся корни по условию движения, затем подставляем найденный t в любое уравнение координаты.

Ответ: физически осмысленный корень даёт момент встречи, а подстановка в уравнение — её координату. Проверка должна подтвердить одинаковые координаты обоих тел.

Типичные ошибки

Считать ускорение всегда положительным — ошибка, потому что его знак задаёт ось, а не слова «разгон» или «торможение». Её допускают, когда смешивают ускорение с его модулем. Проверьте себя: укажите стрелку положительного направления и сравните с ней направление изменения скорости.

Подставлять путь вместо перемещения нельзя: путь не имеет знака, а перемещение равно x − x₀ и может быть отрицательным. Ошибка возникает, когда тело движется против выбранной оси или меняет направление. Проверьте размерность и знак результата, а при развороте разбейте движение на участки.

Формулы равноускоренного движения неприменимы при изменяющемся ускорении. Иногда постоянство ускорения принимают без проверки, потому что известна только одна его величина. Найдите в условии подтверждение, что a постоянно, или решайте движение по отдельным участкам.

Нельзя автоматически принимать x₀ и v₀ равными нулю. Так делают, если мысленно начинают отсчёт там, где тело уже находится или уже движется. Проверьте момент t = 0: именно в нём должны быть заданы начальная координата и скорость.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координаты, перемещение, скорость, векторы и умение читать графики зависимости величин от времени. Эти понятия задают язык описания движения и помогают правильно выбрать знаки.

Уравнения постоянного ускорения используются при изучении свободного падения, а также движения тела, брошенного вертикально или под углом. В таких задачах ускорение свободного падения становится конкретным примером постоянного ускорения.

Далее эти уравнения применяются в задачах на законы Ньютона, столкновения и движение по участкам траектории. Сначала находят ускорение из законов взаимодействия, а затем описывают координату и скорость.

Что запомнить

• При постоянном ускорении скорость изменяется линейно со временем.
• Ускорение показывает изменение скорости за единицу времени.
• Координата при постоянном ускорении зависит от времени квадратично.
• Знак скорости и ускорения определяется выбранным положительным направлением оси.
• Перемещение равно площади под графиком скорости с учётом знака.
• Формулу v² − v₀² = 2a(x − x₀) удобно применять, когда время не задано.
• Перед решением задачи нужно выбрать ось, записать начальные условия и привести величины к единицам СИ.