"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Прямолинейное движение с постоянным ускорением описывает движение тела по прямой, при котором скорость за равные промежутки времени изменяется одинаково. Такая модель помогает находить скорость, перемещение и координату тела в любой момент времени. Главное — правильно учитывать направление оси, знаки скорости и ускорения, а также различать разгон, торможение, перемещение и путь.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Для движения с начальной скоростью v0 и скоростью v через время t: a = (v − v0)/t. Единица ускорения — м/с²: за каждую секунду скорость изменяется на несколько метров в секунду.
Прямолинейное движение с постоянным ускорением — движение по прямой, при котором за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. Например, каждые две секунды скорость может увеличиваться на 4 м/с. Это условие позволяет заранее вычислять скорость и координату тела.
Равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением, направленным в сторону скорости. Поэтому скорость по модулю возрастает, хотя её проекция может быть положительной или отрицательной в зависимости от выбранной оси. Такая модель описывает разгон тела.
Равнозамедленное движение — движение с постоянным ускорением, направленным противоположно скорости. Модуль скорости уменьшается, пока тело не остановится или не начнёт двигаться в обратную сторону. Знак проекции ускорения определяется не словом «замедление», а направлением оси.
Из определения ускорения следует a = (v − v0)/t. Умножим обе части на t и прибавим v0: v = v0 + at. Значит, за время t к начальной скорости добавляется изменение скорости at, поэтому при постоянном ускорении скорость зависит от времени линейно.
На графике v(t) линейная зависимость изображается прямой, а её наклон связан с ускорением: чем больше наклон, тем быстрее меняется скорость. Перемещение за промежуток времени равно площади под графиком скорости. Участки ниже оси времени дают отрицательный вклад, поскольку соответствующее перемещение направлено противоположно положительной оси.
При постоянном ускорении средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей: vср = (v0 + v)/2. Поэтому перемещение можно записать как s = vсрt = (v0 + v)t/2. Подставив v = v0 + at, получаем s = v0t + at²/2.
Координата показывает положение тела относительно начала отсчёта, поэтому к перемещению нужно добавить начальную координату. Так получается уравнение движения x = x0 + s = x0 + v0t + at²/2. При t = 0 оно даёт x = x0, а коэффициент при t² показывает влияние ускорения.
Сначала выбирают положительное направление оси, а затем записывают проекции скорости и ускорения с учётом этого выбора. Если v и a имеют одинаковые знаки, модуль скорости увеличивается, то есть тело разгоняется; если знаки противоположны, тело тормозит. После остановки знак скорости может измениться, и прежний вывод о торможении уже нельзя переносить на весь дальнейший интервал.
| Величина или связь | Обозначение | Формула | Единица измерения или условие применимости |
|---|---|---|---|
| Связь скорости и перемещения | v, v0, a, s | v² − v0² = 2as | время может не задаваться |
Эта формула удобна, когда известны начальная и конечная скорости, ускорение и перемещение, но время не указано. Все величины должны быть записаны в согласованных единицах СИ. Перед подстановкой проверьте знаки проекций и убедитесь, что ускорение постоянно.
Начало движения удобно принять за начало отсчёта, а направление движения — за положительное. Из состояния покоя следует v0 = 0, ускорение a = 2 м/с² и время t = 5 с. Нужно найти конечную скорость и перемещение.
Ответ: скорость автомобиля равна 10 м/с, перемещение за 5 с — 25 м.
Положительным направлением считаем направление движения поезда. При торможении ускорение противоположно скорости, поэтому его проекция отрицательна: a = −0,5 м/с². Остановка наступает при v = 0.
Ответ: поезд остановится через 40 с, а тормозной путь составит 400 м. Отрицательный знак ускорения уменьшает скорость, но сам путь до остановки выбран в положительном направлении.
Сравним заданный закон с формулой x = x0 + v0t + at²/2. Коэффициенты при одинаковых степенях времени должны совпадать, поэтому величины можно определить непосредственно из записи. Затем найдём момент, когда скорость станет равной нулю.
Ответ: x0 = 10 м, v0 = 6 м/с, a = −2 м/с², тело остановится через 3 с в точке с координатой 19 м. После остановки оно начнёт двигаться в отрицательном направлении.
Подмена перемещения пройденным путём приводит к неверному ответу при смене направления. Путь складывает длины всех участков, а перемещение равно разности конечной и начальной координат. Проверяйте, менялся ли знак скорости и не пересекало ли тело исходную точку.
При торможении часто забывают знак ускорения, потому что слово «ускорение» связывают только с увеличением скорости. Знак задаётся выбранной осью: при положительной скорости и торможении ускорение отрицательно. Подставьте найденные величины в v = v0 + at и проверьте, уменьшается ли модуль скорости.
Формулы постоянного ускорения нельзя применять, если ускорение изменяется со временем. Ошибка возникает, когда условие задачи описывает переменный разгон, но его принимают за постоянный. Ищите в условии указание a = const или возможность считать ускорение постоянным.
Начальные величины v0 и x0 относятся именно к моменту t = 0. Если отсчёт времени начат позже, нужно переопределить начало отсчёта и записать новые начальные значения. Проверьте формулы при t = 0: они должны возвращать выбранные x0 и v0.
Для этой темы нужны координата, перемещение, скорость, ускорение и система отсчёта, а также умение работать с проекциями векторов и читать графики. Без выбора оси невозможно правильно определить знаки величин.
Модель постоянного ускорения используется при изучении свободного падения и движения тела, брошенного под углом к горизонту. Она также помогает анализировать графики координаты и скорости.
Связь с математикой проявляется в том, что скорость описывается линейной функцией времени, а координата — квадратной. Наклон графика скорости задаёт ускорение, а коэффициент при t² в уравнении координаты равен a/2.
Почему при торможении ускорение считается отрицательным?
Отрицательным ускорение становится не само по себе, а относительно выбранного положительного направления оси. Если тело движется в положительном направлении, а ускорение направлено противоположно скорости, его проекция на ось будет отрицательной.
Чем путь отличается от перемещения в задачах на движение по прямой?
Путь — это длина всей траектории, поэтому он не бывает отрицательным. Перемещение показывает, насколько изменилась координата, и при смене направления может быть равно нулю или иметь знак.
Можно ли применять формулу s = (v0 + v)t/2 при непостоянном ускорении?
В общем случае нельзя: эта формула основана на линейном изменении скорости и постоянстве ускорения. При непостоянном ускорении среднюю скорость нужно находить другим способом, например по графику или через интегрирование.
Как определить момент остановки тела?
Нужно приравнять скорость к нулю в формуле v = v0 + at и решить полученное уравнение относительно времени. Полученное значение подходит, если оно неотрицательно и относится к рассматриваемому промежутку движения.
Почему график координаты при постоянном ускорении является параболой?
Координата описывается формулой x = x0 + v0t + at²/2, то есть содержит квадрат времени. График квадратной зависимости имеет форму параболы.
§ 1.20. Прямолинейное движение с постоянным ускорением
