"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
При постоянном ускорении скорость тела меняется равномерно, а его положение — по закону, содержащему квадрат времени. Этот закон описывает и радиус-вектор, и каждую координату отдельно, поэтому с его помощью можно предсказывать положение тела в любой момент. Главное — правильно выбрать начало отсчёта и направление осей, а затем учитывать знаки проекций начальной скорости и ускорения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Радиус-вектор — вектор, проведённый из начала отсчёта к движущейся точке. Его проекции на координатные оси задают координаты точки: r = (x, y, z). Поэтому положение тела можно описать как самим вектором, так и набором координат.
Постоянное ускорение — ускорение, которое со временем не меняется ни по модулю, ни по направлению. Оно показывает, как быстро и в какую сторону изменяется скорость. Постоянство ускорения позволяет получить простые формулы для скорости и положения.
Закон движения — зависимость радиус-вектора или координат тела от времени. Например, зная x(t), можно определить положение тела в любой выбранный момент. Закон движения также позволяет строить график и сравнивать положения тела в разные моменты.
Начальная скорость — скорость тела в момент, принятый за начало отсчёта времени, то есть при t = 0. Её обозначают v₀, а её проекции — v₀ₓ, v₀ᵧ и v₀z. Это исходное значение нужно, чтобы учесть, как тело двигалось в начале наблюдения.
При постоянном ускорении за одинаковые промежутки времени скорость изменяется на одинаковые величины. Поэтому к начальной скорости за время t прибавляется изменение at, и получается v = v₀ + at. Формула векторная: ускорение может менять не только модуль скорости, но и её направление, поэтому складывать нужно векторы, а не их модули.
Чтобы найти положение, надо определить перемещение за время t и прибавить его к начальному радиус-вектору. При постоянном ускорении скорость растёт или убывает равномерно, поэтому её среднее значение за промежуток равно (v₀ + v)/2. Умножаем среднюю скорость на t и подставляем v = v₀ + at: получаем перемещение v₀t + at²/2, а значит, r = r₀ + v₀t + at²/2.
Векторное равенство можно спроецировать на каждую координатную ось. Тогда получаются отдельные уравнения: x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2, y = y₀ + v₀ᵧt + aᵧt²/2 и z = z₀ + v₀zt + aᶻt²/2. Такое разложение удобно, потому что движение по одной оси описывается своей координатой и своими проекциями скорости и ускорения. Если, например, aᵧ = 0, координата y меняется по линейному закону, даже если по оси Ox ускорение есть.
В уравнении координаты присутствует слагаемое aₓt²/2, поэтому при ненулевом ускорении получается квадратичная зависимость от времени. График квадратичной функции — парабола; направление её изгиба определяется знаком aₓ. Если ускорение равно нулю, квадратного слагаемого нет, и график координаты становится прямой линией.
Знаки проекций показывают направления величин относительно выбранной оси. Если скорость и ускорение направлены одинаково, модуль скорости увеличивается; если противоположно — уменьшается. Когда тело с противоположно направленными скоростью и ускорением остановится, скорость станет нулевой, но ускорение сохранится: после этого тело начнёт двигаться в обратном направлении, а координата может начать изменяться в другую сторону.
| Величина | Начальное значение | Зависимость от времени | Характер зависимости |
|---|---|---|---|
| Радиус-вектор r | Радиус-вектор r₀ | r = r₀ + v₀t + at²/2 | Векторная квадратичная зависимость |
| Координата x | Координата x₀ | x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2 | Парабола или прямая как частный случай |
| Координата y | Координата y₀ | y = y₀ + v₀ᵧt + aᵧt²/2 | Парабола или прямая как частный случай |
| Координата z | Координата z₀ | z = z₀ + v₀zt + aᶻt²/2 | Парабола или прямая как частный случай |
Выберите строку по искомой величине и проверьте, что начальные данные относятся к тому же моменту, от которого отсчитывается время. Для координат используйте соответствующие проекции скорости и ускорения, не подменяя их модулями. Если проекция ускорения равна нулю, координата меняется линейно.
Автомобиль начинает движение со скоростью 5 м/с и движется с постоянным ускорением 2 м/с². Найдём его координату через 6 с, если начальная координата равна 10 м. Выберем ось Ox вдоль движения, поэтому обе проекции положительны. Используем закон координаты для равноускоренного движения.
Ответ: x = 76 м.
Тело движется вдоль оси Ox, причём его координаты при t = 0, 2 и 4 с равны соответственно 3, 11 и 27 м. Нужно определить начальную скорость и ускорение. Закон движения содержит три неизвестных параметра, но известная координата при t = 0 сразу задаёт x₀ = 3 м. Два остальных измерения дают уравнения для v₀ₓ и aₓ.
Ответ: начальная скорость равна 2 м/с, ускорение — 2 м/с² в положительном направлении оси Ox.
Пусть мяч брошен из точки с координатами (x₀, y₀) со скоростью v₀ под углом α к горизонту, а требуется найти его координаты в момент достижения высоты y*. Выберем ось Ox горизонтально, а Oy вертикально вверх. Если сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение направлено вниз: aₓ = 0, aᵧ = −g. Горизонтальное и вертикальное движения описываются разными уравнениями, но время в них одно.
Ответ: координаты определяются найденным временем t: x = x₀ + v₀ cos α · t и y = y*. Числовой ответ можно получить, когда заданы начальная скорость, угол, высота и начальная точка.
Запись r = r₀ + vt относится к равномерному движению, где скорость постоянна. Её переносят на движение с ускорением, забывая, что скорость меняется, а вместе с ней меняется и перемещение за равные промежутки времени. Проверка проста: в формуле равноускоренного движения должны быть учтены начальная скорость v₀ и ускорение через слагаемое at²/2.
Складывать модули скорости и ускорения вместо векторов или проекций нельзя: направления величин могут различаться. Такая ошибка часто приводит к выводу, что скорость всегда растёт, хотя ускорение может быть направлено против неё. Перед вычислениями выберите ось, укажите положительное направление и присвойте проекциям знаки.
Если при выводе забыть множитель 1/2, слагаемое ускорения получится вдвое больше правильного. Это случается, когда используют конечную скорость вместо средней и не учитывают, что скорость меняется постепенно. Проверьте результат через среднюю скорость (v₀ + v)/2 или по размерности: размерность здесь совпадёт, но коэффициент 1/2 должен следовать из вывода, а не из проверки единиц.
Отрицательное ускорение само по себе не означает замедление: знак зависит от выбранного положительного направления оси. Если время подставить со знаком минус, хотя отсчёт ведётся вперёд от начального момента, получится неверное положение. Проверяйте знаки по рисунку осей и смыслу задачи, а также подставляйте t = 0: закон должен дать начальную координату.
Для работы с законом движения нужны понятия координаты, радиус-вектора, скорости и ускорения, а также умение находить проекции векторов и понимать производную по времени. Эти знания объясняют, откуда берутся уравнения скорости и координаты. Формулы применяются при изучении движения тела, брошенного под углом: горизонтальную и вертикальную составляющие рассматривают отдельно.
Идея разложения движения по осям полезна и при анализе движения по окружности на небольшом участке. Зависимость координаты от времени также нужна для чтения и построения графиков: по наклону графика x(t) можно судить о скорости, а по изменению наклона — об ускорении. Поэтому закон движения связывает расчёты с графическим описанием движения.
Почему в формуле координаты появляется множитель 1/2?
За время t скорость меняется линейно, поэтому средняя скорость равна (v₀ + v)/2. Умножив её на время и подставив v = v₀ + at, получаем перемещение v₀t + at²/2. Тот же множитель возникает при интегрировании скорости по времени.
Можно ли применять эту формулу, если ускорение направлено противоположно скорости?
Да, формула действует и в этом случае, если ускорение постоянно. Нужно выбрать положительное направление оси и записать проекции скорости и ускорения со знаками. Тело может замедлиться, остановиться, а затем начать двигаться в обратную сторону.
Чем закон движения отличается от формулы скорости?
Формула скорости сообщает, как меняется скорость тела со временем: v = v₀ + at. Закон движения показывает, где находится тело в каждый момент: r = r₀ + v₀t + at²/2. По закону движения можно найти координату, а по формуле скорости — темп и направление её изменения.
Почему график координаты при постоянном ускорении является параболой?
В законе координаты есть слагаемое aₓt²/2, поэтому при ненулевом ускорении координата зависит от квадрата времени. График квадратичной функции — парабола. Знак ускорения определяет, в какую сторону она изгибается.
Как записать закон движения, если тело движется сразу по двум координатным осям?
Запишите отдельный закон для каждой оси: например, x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2 и y = y₀ + v₀ᵧt + aᵧt²/2. Обе координаты относятся к одному и тому же времени t. Вместе они задают положение тела на плоскости.
§ 1.19. Зависимость координат и радиуса-вектора от времени при движении с постоянным ускорением
