§ 1.18. Графики зависимости модуля и проекции ускорения и модуля и проекции скорости от времени при движении с постоянным ускорением

Определения и обозначения

Движение с постоянным ускорением — движение, при котором вектор ускорения и его проекция на выбранную ось не изменяются со временем. Это значит, что за равные промежутки времени скорость меняется одинаково. Такое условие позволяет описывать движение простыми формулами и строить графики.

Проекция скорости — алгебраическая величина vₓ, показывающая быстроту и направление движения вдоль выбранной оси. Положительный знак означает движение в сторону положительного направления оси, отрицательный — в противоположную. Проекция нужна, чтобы учитывать направление в вычислениях без записи вектора.

Проекция ускорения — алгебраическая величина aₓ, определяющая, как изменяется проекция скорости. Если aₓ положительна, vₓ со временем увеличивается, а если отрицательна — уменьшается. По её знаку можно понять, в какую сторону направлено ускорение относительно оси.

Модуль векторной величины — неотрицательное значение без учёта направления. Для скорости и ускорения в одномерном движении модуль связан с проекцией равенством |vₓ| и |aₓ| соответственно. Модули позволяют описывать быстроту движения и величину ускорения независимо от выбранного направления оси.

Как это устроено

При постоянном ускорении значение aₓ не меняется, поэтому на графике от времени оно изображается горизонтальной прямой. Если прямая расположена выше оси времени, проекция ускорения положительна; если ниже — отрицательна. Знак зависит от того, какое направление выбрано положительным, а не от того, «разгоняется» ли тело в бытовом смысле.

Из определения ускорения следует, что за время t проекция скорости изменяется на aₓt. Поэтому vₓ = v₀ₓ + aₓt, где v₀ₓ — значение проекции скорости при t = 0. На графике vₓ(t) это прямая: её начальная высота задаётся v₀ₓ, а наклон — ускорением aₓ. При положительном ускорении прямая поднимается вправо, при отрицательном — опускается.

Начальную проекцию скорости считывают с графика при t = 0, а ускорение находят по наклону: делят изменение vₓ на соответствующее изменение времени. Если прямая пересекает ось времени, в точке пересечения vₓ = 0 и тело мгновенно останавливается. Когда после этой точки знак vₓ меняется, тело начинает двигаться в противоположном направлении.

График модуля скорости отличается от графика проекции, потому что |vₓ| не может быть отрицательным. Пока vₓ сохраняет один знак, модуль скорости совпадает с величиной проекции, взятой со знаком «плюс»; после перехода через ноль отрицательный участок отражается вверх. В точке остановки образуется излом, поскольку наклон графика модуля меняет знак. Например, для vₓ = −4 + 2t остановка происходит при t = 2 с, а |vₓ| = |−4 + 2t|.

Если ускорение постоянно, его модуль также постоянен: |aₓ| не зависит от времени. Площадь под графиком aₓ(t) за промежуток времени равна изменению проекции скорости, так как произведение ускорения на время даёт это изменение. Площадь под vₓ(t) с учётом знака показывает перемещение, а под |vₓ(t)| — путь. Различие возникает потому, что движение против положительного направления даёт отрицательное перемещение, но положительный вклад в путь.

Графики основных кинематических величин при постоянном ускорении

Сначала проверьте, какую величину показывает график: проекцию со знаком или модуль без знака. Затем считайте значение по вертикальной оси, а для прямой скорости используйте её наклон, чтобы найти ускорение. Площадь под графиком скорости помогает определить перемещение или путь, но для них нужно выбирать соответственно vₓ или |vₓ|.

Разбор задач

Задача 1

Тело движется вдоль оси Ox с начальной скоростью 2 м/с и постоянным ускорением 3 м/с². Нужно построить графики aₓ(t) и vₓ(t) за первые 4 с и определить скорость в конце интервала. Поскольку скорость и ускорение направлены вдоль выбранной оси, их проекции положительны. Используем формулу постоянного ускорения и отметим начальное значение скорости.

1. Проекция ускорения всё время равна aₓ = 3 м/с², поэтому её график — горизонтальная прямая на уровне 3.
2. Для скорости подставляем данные: vₓ(t) = 2 + 3t. Это прямая, проходящая через точки (0 с; 2 м/с) и (4 с; 14 м/с).
3. В конце интервала vₓ(4) = 2 + 3 · 4 = 14 м/с.

Ответ: aₓ(t) = 3 м/с², vₓ(t) = 2 + 3t м/с; при t = 4 с скорость равна 14 м/с. Чтобы построить графики, достаточно отметить указанные уровни и точки, а затем провести прямые. Скорость растёт, потому что ускорение имеет тот же знак, что и начальная проекция скорости.

Задача 2

Автомобиль движется со скоростью v₀ₓ = −6 м/с и ускорением aₓ = 2 м/с². Требуется построить графики vₓ(t) и |vₓ(t)|, найти момент остановки и объяснить излом. Отрицательная начальная проекция показывает, что автомобиль движется против положительного направления оси. Положительное ускорение постепенно уменьшает модуль его отрицательной проекции.

1. Записываем закон скорости: vₓ(t) = −6 + 2t.
2. Находим остановку из условия vₓ = 0: −6 + 2t = 0, откуда t = 3 с. График проекции — прямая через точки (0; −6) и (3; 0).
3. До остановки |vₓ| = 6 − 2t, а после неё |vₓ| = −6 + 2t. График модуля проходит через (0; 6), (3; 0) и далее поднимается.

Ответ: автомобиль останавливается через 3 с; после этого он меняет направление. Излом графика модуля возникает потому, что до остановки модуль скорости убывает, а после — возрастает, хотя сама проекция скорости остаётся прямой линией. Значение |vₓ| при любом времени неотрицательно.

Задача 3

Известно, что vₓ(0) = 8 м/с, а vₓ(5) = −2 м/с. Нужно найти ускорение, момент остановки и перемещение за первые 5 с. Постоянное ускорение означает, что график скорости — прямая, поэтому двух значений достаточно, чтобы определить её наклон. Площадь под графиком нужно считать со знаком, поскольку ищется перемещение.

1. Находим ускорение: aₓ = (−2 − 8) / (5 − 0) = −2 м/с².
2. Записываем скорость vₓ = 8 − 2t. При остановке 8 − 2t = 0, значит, t = 4 с.
3. За первые 4 с площадь графика — треугольник с основанием 4 с и высотой 8 м/с: S₁ = 16 м. За последнюю секунду скорость отрицательна, поэтому S₂ = −1 м. Перемещение равно S₁ + S₂ = 15 м.

Ответ: aₓ = −2 м/с², остановка происходит через 4 с, перемещение за 5 с равно 15 м в положительном направлении оси. Участок после остановки вычитается, так как скорость там направлена противоположно. Если бы требовался путь, площади двух участков складывались бы без вычитания.

Типичные ошибки

Ошибочно рисовать vₓ(t) горизонтальным при постоянном ускорении. Путают постоянство ускорения с постоянством скорости, хотя ускорение как раз показывает изменение скорости. Проверьте себя по формуле vₓ = v₀ₓ + aₓt: при aₓ ≠ 0 коэффициент при времени ненулевой, значит, график наклонён.

Модуль скорости иногда продолжают вниз, оставляя отрицательные значения после пересечения оси времени. Так происходит, если забыть, что модуль — это неотрицательная величина. Возьмите несколько значений vₓ по разные стороны от нуля и вычислите |vₓ|: отрицательная часть должна отразиться вверх.

Наклон графика скорости можно принять за саму скорость. Высота точки на графике показывает vₓ в данный момент, а наклон прямой показывает, насколько быстро эта величина меняется, то есть aₓ. Для проверки рассчитайте отношение изменения vₓ к изменению времени: единица измерения результата должна быть м/с².

Площадь под |vₓ(t)| иногда используют для вычисления перемещения, не учитывая направление движения. Это даёт путь, потому что все участки площади положительны; перемещение же учитывает знак скорости. Перед подсчётом разделите график в точках перехода vₓ через ноль: площади под vₓ складывайте с их знаками, а площади под |vₓ| — без знаков.

Связь с другими темами

Для работы с этими графиками нужны знания о векторах, проекциях на координатную ось и формулах равноускоренного движения. Понимание производной как скорости изменения величины помогает связать наклон графика скорости с ускорением. Графический способ пригодится при нахождении перемещения и анализе остановки или смены направления. В дальнейшем эти представления используют при изучении движения по окружности, сложного движения и графическом решении кинематических задач.

Что запомнить

• При постоянном ускорении график aₓ(t) — горизонтальная прямая.
• Проекция скорости изменяется по закону vₓ = v₀ₓ + aₓt.
• Наклон графика vₓ(t) равен проекции ускорения.
• Модуль скорости всегда неотрицателен.
• При переходе vₓ через ноль график |vₓ(t)| имеет излом.
• Площадь под графиком vₓ(t) равна перемещению.
• Площадь под графиком |vₓ(t)| равна пройденному пути.