§ 1.21. Графики зависимости координат от времени при движении с постоянным ускорением

Определения и обозначения

Координата x(t) — положение тела на выбранной координатной оси в момент времени t. Она может быть положительной, отрицательной или равной нулю: это зависит от того, где выбрано начало оси. Запись x(t) подчёркивает, что положение может меняться со временем. По координате можно определить, где находится тело относительно начала отсчёта.

График зависимости координаты от времени — изображение значений x(t) на плоскости, где по горизонтали отложено время, а по вертикали — координата. Каждая точка графика показывает положение тела в определённый момент. График помогает видеть, как движение меняется со временем, и находить нужные значения без составления отдельного описания для каждого момента. Важно не путать оси: по вертикали здесь отложена координата, а не скорость.

Начальная координата x₀ — координата тела в момент, принятый за начало отсчёта времени, то есть при t = 0. Она показывает, откуда начинается движение относительно выбранного начала координат. Поэтому график x(t) при t = 0 проходит через точку с координатой x₀. Начальную координату нельзя автоматически считать нулевой: это зависит от условий задачи.

Начальная скорость v₀ — скорость тела при t = 0, определяющая начальный наклон графика координаты. Если v₀ положительна, в начале координата растёт; если отрицательна — уменьшается. Наклон показывает не высоту графика, а то, насколько быстро меняется координата. Это различие позволяет отдельно описывать положение тела и направление его движения.

Как это устроено

Уравнение равноускоренного движения x(t) = x₀ + v₀t + at²/2 получается из закона изменения скорости и начальных условий. При постоянном ускорении скорость через время t равна v(t) = v₀ + at. За небольшой промежуток тело проходит расстояние, связанное с его скоростью, поэтому изменение координаты накапливается; при линейном изменении скорости оно содержит член at²/2. К этому изменению прибавляется начальная координата x₀, а в начале движения скорость задаётся величиной v₀.

Если a не равно нулю, в формуле координаты присутствует член с t². Поэтому зависимость x от t является квадратичной, а её график — параболой. Когда a = 0, квадратный член исчезает и остаётся x(t) = x₀ + v₀t, то есть линейная зависимость и прямая. Эта прямая соответствует равномерному движению: за равные промежутки времени координата изменяется на равные величины.

Подстановка t = 0 в уравнение даёт x(0) = x₀, поэтому начальная координата определяет точку пересечения графика с вертикальной осью координат. Начальный наклон задаётся v₀, поскольку скорость равна изменению координаты за время, а в графическом представлении — наклону касательной. Если v₀ положительна, график сначала поднимается при движении слева направо; если отрицательна — опускается. Наклон параболы со временем меняется, поэтому начальный наклон не описывает её целиком.

Выпуклость или вогнутость параболы связана со знаком ускорения. При a > 0 наклон графика со временем увеличивается, а при a < 0 уменьшается; это и показывает знак ускорения. Скорость равна наклону касательной, поэтому изменение наклона означает изменение скорости. При этом знак координаты ничего не говорит о знаке ускорения: тело может находиться по отрицательную сторону начала оси и иметь ускорение любого знака.

Чтобы найти координату в заданный момент, на графике выбирают это значение времени и считывают соответствующую координату. Скорость определяют по наклону касательной: горизонтальная касательная означает v = 0 и остановку в данный момент. Направление движения устанавливают по знаку наклона: при положительном наклоне координата растёт, при отрицательном — убывает. Если наклон меняет знак, тело после остановки начинает двигаться в противоположном направлении.

Вид графика координаты при различных условиях движения

Сначала выберите строку, подходящую к условию, и сравните уравнение с формой графика. Затем проследите, как меняется наклон: он показывает скорость, а изменение наклона — ускорение. Остановка и изменение направления связаны с нулевым наклоном касательной, но не с пересечением оси времени.

Разбор задач

Задача 1

Для движения задано x(t) = 4 + 6t − t² в СИ. Нужно определить начальную координату, начальную скорость и ускорение, а также описать график на промежутке 0–8 с. Сравним выражение с общей формулой x(t) = x₀ + v₀t + at²/2. Такое сопоставление позволяет увидеть не только параметры, но и форму движения.

1. Свободный член равен начальной координате: x₀ = 4 м. Коэффициент при t равен начальной скорости, поэтому v₀ = 6 м/с.
2. Коэффициент при t² равен a/2. Здесь a/2 = −1, следовательно, ускорение a = −2 м/с².
3. Так как ускорение отрицательно, парабола направлена ветвями вниз. Скорость v(t) = 6 − 2t обращается в ноль при t = 3 с, поэтому в этот момент график имеет вершину.
4. Координата в вершине равна x(3) = 4 + 18 − 9 = 13 м. На промежутке от 0 до 3 с координата растёт, затем убывает; к t = 8 с она равна −12 м.

Ответ: x₀ = 4 м, v₀ = 6 м/с, a = −2 м/с². График — парабола с ветвями вниз, вершина находится в точке (3 с; 13 м); после трёх секунд тело движется в отрицательном направлении.

Задача 2

По графику зависимости координаты от времени требуется определить координаты тела в моменты 2 с и 5 с, момент остановки и промежуток движения в отрицательном направлении. Численные значения можно получить только с конкретного графика, поэтому здесь разберём способ чтения. Сначала найдём координаты по вертикальной оси, затем исследуем наклон кривой. Эти действия отвечают на разные вопросы: где находится тело и как оно движется.

1. На горизонтальной оси отметьте t = 2 с и поднимитесь до графика. От точки пересечения проведите мысленно горизонталь к оси координат и считайте x(2). Точно так же найдите x(5).
2. Ищите точку, где касательная к графику горизонтальна. В ней скорость равна нулю, а значит, тело на мгновение останавливается.
3. Определите знак наклона на нужных участках. Если график убывает слева направо, наклон отрицателен и тело движется в отрицательном направлении; если возрастает — в положительном.
4. Если после горизонтальной касательной график меняет направление наклона, движение меняет направление. Не следует принимать за остановку пересечение графика с осью времени: там лишь x = 0.

Ответ: x(2) и x(5) считывают по вертикальной шкале графика; момент остановки соответствует горизонтальной касательной. Промежуток движения в отрицательном направлении — участок, на котором график убывает.

Задача 3

Координата тела при постоянном ускорении равна 3 м при t = 0, 11 м при t = 2 с и 27 м при t = 4 с. Требуется найти v₀ и a, а затем построить x(t). Подставим каждую пару времени и координаты в общее уравнение движения. Получившаяся система позволит определить параметры параболы, а формула скорости — проверить, есть ли вершина на рассматриваемом промежутке.

1. При t = 0 сразу получаем x₀ = 3 м. Для t = 2 с имеем 3 + 2v₀ + 2a = 11, откуда v₀ + a = 4.
2. Для t = 4 с получаем 3 + 4v₀ + 8a = 27, или v₀ + 2a = 6. Вычитая первое уравнение из второго, находим a = 2 м/с².
3. Подставляем ускорение в v₀ + a = 4: v₀ = 2 м/с. Значит, уравнение графика имеет вид x(t) = 3 + 2t + t².
4. Вершину нашли бы из условия v(t) = 2 + 2t = 0, которое даёт t = −1 с. Это время раньше начала отсчёта, поэтому при t ≥ 0 график всё время возрастает и вершины на рассматриваемом промежутке нет.

Ответ: x₀ = 3 м, v₀ = 2 м/с, a = 2 м/с²; x(t) = 3 + 2t + t². Для построения отметьте заданные точки (0; 3), (2; 11), (4; 27) и проведите через них ветвь параболы, направленную вверх.

Типичные ошибки

Первая ошибка — путать графики координаты x(t) и скорости v(t). При постоянном ускорении график координаты обычно параболический, а график скорости — прямая, потому что скорость меняется линейно. Путаница возникает, если ориентироваться лишь на слово «ускорение» и не проверять, какую величину отложили по вертикальной оси. Перед чтением графика проверьте подписи обеих осей.

Вторая ошибка — считать, что наклон всей параболы одинаков. Наклон меняется от точки к точке, и только наклон касательной в конкретной точке равен мгновенной скорости. Это заблуждение появляется из-за привычки сравнивать прямые графики, где наклон постоянен. Проверка проста: выберите разные точки параболы и сравните, насколько круто она направлена в каждой.

Третья ошибка — определять знак ускорения по направлению движения или знаку координаты. Знак ускорения задаётся изменением наклона: наклон растёт при положительном ускорении и уменьшается при отрицательном. Ошибку допускают, когда смешивают координату, скорость и ускорение — три разные величины. Чтобы проверить вывод, проследите за изменением наклона по времени, а не только за тем, выше или ниже нуля расположен график.

Четвёртая ошибка — считать пересечение графика с осью времени остановкой. В этой точке координата равна нулю, тогда как при остановке скорость равна нулю и касательная горизонтальна. Смешение возникает потому, что обе точки кажутся особыми на рисунке. Различайте условия x = 0 и v = 0: только второе указывает на остановку.

Связь с другими темами

Для чтения графиков нужны координатный способ описания движения, определения скорости и ускорения, а также формулы равноускоренного движения. По графику координаты можно перейти к изучению графиков скорости и ускорения: наклон x(t) связан со скоростью, а его изменение — с ускорением. Обратный переход помогает проверять, согласуются ли графики между собой.

Графики x(t) полезны в задачах на встречу тел: пересечение двух графиков означает, что тела одновременно имеют одну координату. По ним также находят моменты остановки и смены направления движения. Таким образом, графическое описание дополняет вычисления и позволяет сопоставлять движение нескольких тел.

Что запомнить

• При постоянном ускорении координата зависит от времени по квадратичному закону.
• График x(t) при a ≠ 0 — парабола, а при a = 0 — прямая.
• Точка графика при t = 0 имеет координату x₀.
• Начальный наклон графика определяется начальной скоростью v₀.
• Наклон касательной к графику x(t) в любой точке равен мгновенной скорости.
• Изменение наклона графика во времени показывает ускорение.
• Вершина параболы соответствует моменту, когда скорость равна нулю.

Как это устроено