"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Свободное падение — движение тела, на которое действует только сила тяжести; сопротивление воздуха при этом считают пренебрежимо малым. Такая модель помогает описывать падение и вертикальные броски с помощью уравнений равноускоренного движения. У поверхности Земли все тела в этих условиях получают одинаковое ускорение g ≈ 9,8 м/с², направленное вниз. Чтобы верно найти координату и скорость в любой момент, нужно выбрать ось и согласованно определить знаки величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Это не обязательно движение вниз: после вертикального броска вверх тело тоже свободно падает, пока действует лишь тяжесть. Понятие помогает выбрать подходящую модель и не учитывать лишние силы.
Ускорение свободного падения — ускорение тела при свободном падении; у поверхности Земли его модуль приблизительно равен 9,8 м/с², направление — вертикально вниз. Его обозначают буквой g, а в уравнениях учитывают проекцию на выбранную ось. Значение g позволяет рассчитывать, как меняются скорость и положение тела.
Ускорение — векторная величина, характеризующая изменение скорости тела за единицу времени. Оно показывает, насколько и в какую сторону меняется скорость; единица измерения — м/с². При равноускоренном движении ускорение постоянно, поэтому скорость за одинаковые промежутки времени меняется одинаково.
Начальная скорость — скорость тела в момент начала рассматриваемого движения. Её обозначают v₀, а знак проекции зависит от выбранной оси: при оси вверх бросок вверх имеет положительную проекцию, бросок вниз — отрицательную. Начальная скорость нужна, чтобы различать падение из покоя и движение после броска.
В идеальной модели тела разной массы падают с одинаковым ускорением. Сила тяжести тем больше, чем больше масса: F = mg; по второму закону Ньютона ускорение равно силе, делённой на массу, поэтому a = mg/m = g. Масса сокращается, и остаётся одно и то же ускорение для всех тел в данной области Земли. В воздухе сопротивление может нарушить это равенство, поэтому условие о его малости принципиально.
Сила тяжести около поверхности Земли направлена вниз и почти постоянна на небольших высотах. Значит, ускорение тела также постоянно и направлено вниз, а скорость за равные промежутки времени меняется на одинаковую величину. Так свободное падение становится частным случаем равноускоренного движения. Даже если тело сначала летит вверх, сила тяжести не меняет направления.
Чтобы записать уравнения без путаницы, сначала выбирают начало координат и положительное направление оси. При оси y, направленной вверх, проекция ускорения равна aᵧ = −g, а координата и скорость могут быть как положительными, так и отрицательными. Тогда используют y = y₀ + v₀t + aᵧt²/2 и vᵧ = v₀ + aᵧt. Если ось направить вниз, проекция ускорения станет +g; физическое движение от смены оси не изменится.
Формулы для отдельных случаев получают подстановкой начальных условий в общие уравнения. Для падения из покоя удобно направить ось вниз от точки старта: тогда h = gt²/2 и v = gt. При броске вверх обычно выбирают ось вверх, поэтому aᵧ = −g, а при броске вниз проекция начальной скорости при той же оси отрицательна. В обоих случаях сохраняются общие уравнения координаты и скорости.
В верхней точке броска вверх тело на мгновение перестаёт перемещаться вверх, поэтому vᵧ = 0. Но сила тяжести продолжает действовать, так что ускорение остаётся направленным вниз и скорость после этой точки становится отрицательной при оси вверх. Из условия vᵧ = 0 находят время подъёма, а подстановка этого времени в уравнение координаты даёт максимальную высоту. Если тело возвращается на уровень броска, время спуска равно времени подъёма.
| Вид движения | Начальная скорость | Координата y(t) | Скорость vᵧ(t) | Особенности движения |
|---|---|---|---|---|
| Падение из состояния покоя | v₀ = 0 | y₀ − gt²/2 | −gt | Ось направлена вверх; тело начинает движение без начальной скорости. |
| Бросок вверх | v₀ > 0 | y₀ + v₀t − gt²/2 | v₀ − gt | Скорость уменьшается до нуля в верхней точке. |
| Бросок вниз | v₀ < 0 | y₀ + v₀t − gt²/2 | v₀ − gt | При оси вверх начальная скорость и ускорение направлены вниз. |
| Общий случай движения по вертикали | Произвольная v₀ | y₀ + v₀t − gt²/2 | v₀ − gt | Начальное положение y₀ и скорость задаются условием задачи. |
Таблица составлена для оси y, направленной вверх, поэтому ускорение во всех строках имеет проекцию −g. Выберите строку по начальным условиям и подставьте значения в согласованных единицах. Если удобнее направить ось вниз, измените знаки проекций и координат соответственно.
Найдём время падения и скорость перед ударом, пренебрегая сопротивлением воздуха. Камень отпустили, значит, начальная скорость равна нулю. Направим ось вниз от точки старта: путь до земли h = 45 м, ускорение a = g. Такой выбор позволяет пользоваться положительными величинами для пути и скорости вниз.
Ответ: время падения около 3,0 с, скорость перед ударом около 29 м/с вниз.
Выберем ось вверх и начало координат в точке броска. Тогда v₀ = 20 м/с, а aᵧ = −g. В верхней точке vᵧ = 0; после нахождения времени подъёма подставим его в координатное уравнение. Полное время до возвращения на исходный уровень вдвое больше времени подъёма.
Ответ: подъём длится около 2,04 с, максимальная высота составляет около 20,4 м, полное время движения — около 4,08 с.
Первое тело бросили вниз со скоростью 5 м/с, второе отпустили без начальной скорости. Направим ось вниз от балкона, тогда ускорение обоих тел равно +g, а скорости первого и второго равны 5 м/с и 0. Для каждого тела составим уравнение пути до земли; разные начальные скорости дадут разные времена и скорости удара.
Ответ: времена — около 2,03 с и 2,47 с; скорости — около 24,9 м/с и 24,2 м/с вниз соответственно.
Считать свободным падением любое падение — ошибка: в воздухе может существенно действовать сопротивление. Её допускают, потому что в быту слово «падает» кажется достаточным описанием движения. Проверьте условие модели: учитываются ли только сила тяжести и пренебрежимо малое сопротивление. Если сопротивление важно, простые формулы свободного падения применять нельзя.
Нельзя объяснять различие ускорений в идеальном падении массой тела: сила тяжести действительно больше у массивного тела, но его инертность тоже больше. Деление F = mg на массу даёт a = g, одинаковое для тел в одном месте. Ошибку помогает обнаружить проверка через второй закон Ньютона. Масса сама по себе не меняет ускорение свободного падения.
Неверно ставить знак перед g, не соотнеся его с осью. Часто помнят, что g положительно, и автоматически подставляют +g, хотя при оси вверх ускорение направлено против положительного направления. Нарисуйте ось и стрелку ускорения, затем определите проекцию: вверх — −g, вниз — +g. Для скорости применяйте то же правило.
Формулы падения из покоя нельзя использовать, если телу сообщили начальную скорость. Ошибка возникает, когда слова «отпустили» и «бросили» воспринимают как одно и то же условие. Найдите v₀ в задаче: для отпущенного тела v₀ = 0, для брошенного обычно v₀ ≠ 0. Подставляйте эти данные в общие уравнения, а не отбрасывайте начальный член.
Для решения задач нужны понятия скорости и ускорения, векторные величины, их проекции и уравнения равноускоренного движения. Без них трудно правильно записать знаки координаты, скорости и ускорения. Свободное падение показывает, как общие формулы применяются к конкретному взаимодействию.
Тема связана с законами Ньютона: сила тяжести сообщает телу ускорение, а второй закон объясняет, почему в идеальной модели оно не зависит от массы. Это позволяет связать описание движения с причиной изменения скорости. Модель также подготавливает к анализу других движений под действием силы.
Уравнения вертикального движения пригодятся при изучении тела, брошенного под углом к горизонту: вертикальную составляющую такого движения рассматривают отдельно. Те же представления помогают разбираться в движении искусственных спутников и задачах на энергию. В каждом случае важно определить действующие силы и подходящую систему отсчёта.
Почему тяжёлое и лёгкое тело падают одновременно в вакууме?
В вакууме на тела действует только сила тяжести, равная mg. По второму закону Ньютона ускорение равно отношению силы к массе: mg/m = g, поэтому масса сокращается. Ускорение у тел одинаково, если они находятся в одном месте.
Чем свободное падение отличается от обычного падения тела в воздухе?
При свободном падении учитывают только силу тяжести, а сопротивлением воздуха пренебрегают. В воздухе сопротивление может заметно менять ускорение и скорость, причём его действие зависит от формы и скорости тела. Поэтому обычное падение не всегда можно описать формулами свободного падения.
Почему в верхней точке броска вверх ускорение не равно нулю?
В верхней точке на мгновение становится равной нулю только вертикальная скорость. Сила тяжести продолжает действовать вниз, поэтому ускорение остаётся равным g по модулю и направлено вниз. Именно оно затем разгоняет тело при падении.
Как понять, какой знак поставить перед g в уравнениях?
Сначала выберите направление положительной оси, а затем спроецируйте ускорение на неё. Если ось направлена вверх, ускорение направлено против неё и aᵧ = −g; если ось направлена вниз, aᵧ = +g. Знак начальной скорости определяется таким же способом.
Можно ли считать движение тела, брошенного вверх, свободным падением?
Да, если после броска на тело действует только сила тяжести и сопротивлением воздуха можно пренебречь. Свободное падение не обязательно означает, что тело с самого начала движется вниз: при броске вверх скорость сначала направлена вверх, но ускорение всё время направлено вниз.
§ 13. Свободное падение тел
