§ 14. Графики зависимости пути, перемещения, скорости и ускорения от времени при равнопеременном движении

Определения и обозначения

Равнопеременное движение — движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению. Это значит, что за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину; при равномерном движении скорость не меняется, а ускорение равно нулю. Такое описание позволяет заранее предсказывать движение тела.

Ускорение — векторная величина, показывающая, как изменяется скорость за единицу времени; его обозначают a и измеряют в м/с². Знак ускорения зависит от выбранного направления оси: он указывает направление вектора, а не сам по себе то, увеличивается ли скорость. Ускорение помогает описать изменение движения.

Путь — длина траектории, которую прошло тело; обозначается s и является скалярной величиной. Путь складывает все пройденные отрезки, не учитывая направление, поэтому не может уменьшаться. Он нужен, когда важно узнать, сколько всего тело прошло.

Перемещение Δx — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела; при движении вдоль оси его алгебраическое значение равно изменению координаты. Если тело движется вдоль выбранного положительного направления, перемещение положительно, а в противоположную сторону — отрицательно. Оно позволяет определить, где тело оказалось относительно начала движения.

Как это устроено

При постоянном ускорении скорость за каждый одинаковый промежуток времени меняется на одну и ту же величину. Поэтому скорость в момент t выражается формулой v = v₀ + at, где v₀ — начальная скорость. На графике v(t) это прямая: её наклон равен ускорению, потому что наклон показывает изменение скорости за единицу времени.

Перемещение накапливается из пройденных за каждый момент малых отрезков, а скорость при этом меняется. Поэтому за время t получается Δx = v₀t + at²/2: первое слагаемое отвечает за движение с начальной скоростью, второе — за добавочное смещение из-за ускорения. Квадрат времени делает график перемещения параболой, а наклон касательной к нему показывает скорость в данный момент.

Пока тело не меняет направление, путь увеличивается так же, как модуль перемещения. Если скорость обращается в ноль и тело разворачивается, перемещение начинает изменяться в противоположную сторону, а пройденный путь продолжает расти. Поэтому график пути строят отдельно до и после разворота: его наклон связан с модулем скорости и не бывает отрицательным.

При постоянном ускорении его значение не зависит от времени, значит, график a(t) — горизонтальная прямая. Положительный знак означает направление вдоль выбранной оси, отрицательный — против неё. Если скорость и ускорение направлены противоположно, модуль скорости уменьшается; если одинаково — увеличивается.

По графику перемещения можно найти скорость как наклон касательной, а по графику скорости — ускорение как наклон прямой. Значение перемещения или пути в выбранный момент считывают по вертикальной оси соответствующего графика. Чтобы найти путь после разворота, нужно определить длину каждого участка и сложить их, а не использовать только итоговое перемещение.

Зависимости кинематических величин от времени при равнопеременном движении

Сначала определите, какую величину изображает график и какие единицы указаны на осях. Затем считайте значение в нужный момент либо найдите наклон, если требуется скорость или ускорение. При смене направления график пути рассматривайте по отдельным участкам.

Разбор задач

Задача 1. График скорости проходит через точки (0; 4 м/с) и (5 с; 14 м/с). Нужно определить ускорение и записать закон изменения скорости.

1. Наклон прямой равен отношению изменения скорости к изменению времени: a = (14 − 4)/5 = 2 м/с².
2. Начальная скорость считывается при t = 0: v₀ = 4 м/с. Подставляем её и ускорение в формулу v = v₀ + at.
3. Получаем v = 4 + 2t, где время выражено в секундах, а скорость — в м/с. Проверка по графику: при t = 5 с формула даёт 14 м/с.

Ответ: a = 2 м/с²; v = 4 + 2t.

Задача 2. Тело движется со скоростью 6 м/с и равнозамедленно останавливается за 3 с. Построить графики скорости, ускорения, перемещения и пути.

1. Ускорение постоянно, поэтому a = (0 − 6)/3 = −2 м/с². Скорость задаётся формулой v = 6 − 2t и обращается в ноль при t = 3 с.
2. График v(t) — отрезок прямой от (0; 6) до (3; 0), а график ускорения — горизонтальный отрезок a = −2 м/с². После остановки условий дальнейшего движения не дано, поэтому графики рассматриваем до t = 3 с.
3. Перемещение равно Δx = 6t − t². До остановки тело не меняет направление, поэтому путь совпадает с перемещением: s = 6t − t²; график начинается в нуле и достигает 9 м при t = 3 с.

Ответ: a = −2 м/с²; v = 6 − 2t; Δx = s = 6t − t² при 0 ≤ t ≤ 3 с. Для построения графиков достаточно отметить начальные и конечные значения и провести соответствующие прямую, горизонталь и ветвь параболы.

Задача 3. Тело движется по прямой со скоростью v₀ = −2 м/с и ускорением a = 1 м/с². Найти момент остановки, перемещение и путь за 4 с, затем построить графики.

1. По формуле v = −2 + t находим остановку: v = 0 при t = 2 с. До этого момента скорость отрицательна, после него становится положительной, то есть тело разворачивается.
2. Перемещение за 4 с: Δx = −2·4 + 1·4²/2 = 0 м. Для построения графика используем Δx = −2t + t²/2: это парабола с минимумом при t = 2 с.
3. До остановки тело проходит 2 м, а за следующие 2 с — ещё 2 м. Следовательно, путь за всё время равен 2 + 2 = 4 м; его график не убывает и имеет горизонтальную касательную в момент разворота.
4. График скорости — прямая от −2 до 2 м/с, пересекающая ось времени при 2 с. График ускорения — горизонтальная линия a = 1 м/с².

Ответ: тело останавливается при t = 2 с; Δx = 0 м; s = 4 м. Нулевое перемещение не означает, что тело не двигалось: оно прошло по 2 м в каждом направлении.

Типичные ошибки

Путь часто путают с перемещением и считают, что они всегда равны. Это происходит потому, что при движении без разворота их значения совпадают; проверка проста: если тело возвращалось, сложите длины пройденных участков отдельно. Тогда путь окажется положительным, а перемещение может быть нулевым.

Отрицательное ускорение не обязательно означает, что тело тормозит. Знак показывает направление относительно оси, но скорость уменьшается только тогда, когда ускорение направлено против скорости; проверьте знаки v и a. При одинаковых знаках модуль скорости, наоборот, растёт.

Иногда при ненулевом ускорении перемещение изображают прямой линией. Ошибка возникает из-за смешения графиков скорости и перемещения: прямая описывает v(t), а формула перемещения содержит t². Для самопроверки сопоставьте форму графика с формулой: квадратичная зависимость даёт параболу.

Одну формулу пути нельзя без проверки применять на всём промежутке после остановки и разворота. Формула с начальной скоростью может дать уменьшение значения, хотя пройденный путь уменьшаться не должен. Найдите момент разворота, разделите время на участки и сложите длины отрезков.

Связь с другими темами

Для чтения этих графиков нужно уметь выбирать координатную ось, понимать вектор перемещения и знать определения скорости и ускорения. Наклон графика координаты связан со скоростью, а наклон графика скорости — с ускорением; это предварительное знакомство с идеей производной. Такие способы анализа пригодятся при решении задач динамики, изучении движения транспорта и обработке экспериментальных данных.

Что запомнить

• При равнопеременном движении ускорение постоянно.
• Скорость изменяется с временем линейно: v = v₀ + at.
• Перемещение изменяется по квадратичному закону: Δx = v₀t + at²/2.
• График ускорения от времени — горизонтальная прямая.
• Наклон графика перемещения равен скорости.
• Наклон графика скорости равен ускорению.
• Путь не уменьшается, а перемещение может изменять знак и возвращаться к нулю.