"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Баллистическое движение — полёт тела после броска, когда на него действует только сила тяжести, а сопротивлением воздуха пренебрегают. Такая модель помогает рассчитывать траекторию, время полёта, высоту и дальность. Главное — рассматривать движение по горизонтали и вертикали отдельно: горизонтальная скорость постоянна, а вертикальная меняется под действием ускорения свободного падения. Это позволяет решать задачи и понимать, когда расчёты применимы к реальному полёту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Баллистическое движение — движение тела, которому после броска сообщена начальная скорость и на которое далее действует только сила тяжести; сопротивлением воздуха пренебрегают. Это идеализированная модель: она позволяет не учитывать сложное влияние воздуха и применять законы движения с постоянным ускорением. Ускорение свободного падения обозначают g, около поверхности Земли его обычно принимают равным 9,8 м/с² или округляют до 10 м/с².
Траектория баллистического движения — линия, по которой движется тело. При горизонтальном и наклонном броске без сопротивления воздуха траектория представляет собой параболу: горизонтальная координата меняется пропорционально времени, а вертикальная — по квадратичному закону. Понятие траектории помогает связать координаты тела и определить, где оно окажется в каждый момент.
Время полёта — промежуток времени от броска до возвращения тела на уровень, с которого его бросили. Для определения этого времени используют вертикальное движение и условие, что конечная высота равна начальной. Если тело приземляется выше или ниже точки броска, в расчёте нужно задать именно другую высоту падения: прежнее условие уже не подходит.
Дальность полёта — горизонтальное расстояние от точки броска до места падения. Она зависит от начальной скорости и её направления, ускорения свободного падения и положения места приземления относительно точки броска. При одинаковом уровне броска и падения дальность можно найти, умножив горизонтальную скорость на время полёта.
Ускорение — это изменение скорости за единицу времени; в баллистическом движении оно направлено только вертикально. Поэтому движение удобно разделить на два независимых: по горизонтали скорость не меняется, а по вертикали тело падает с ускорением g. Такая независимость означает, что расчёт по одной оси не изменяет закон движения по другой. При этом оба движения происходят одновременно и имеют общее время t.
При наклонном броске начальную скорость v₀ раскладывают на горизонтальную и вертикальную составляющие: v₀ₓ = v₀ cos α, v₀ᵧ = v₀ sin α, где α — угол к горизонту. Горизонтальная составляющая определяет, насколько быстро тело перемещается вдоль земли. Вертикальная задаёт начальный подъём: тело сначала поднимается, затем замедляется, останавливается на мгновение в верхней точке и начинает падать. Для горизонтального броска α = 0, поэтому v₀ᵧ = 0.
В горизонтальном направлении координата равна x = v₀ₓt, потому что скорость постоянна. В вертикальном направлении при отсчёте высоты от точки броска y = v₀ᵧt − gt²/2: первое слагаемое описывает начальный подъём, второе — действие тяжести вниз. Из первого уравнения t = x/v₀ₓ; подстановка во второе даёт y = x tg α − gx²/(2v₀² cos² α). Это уравнение параболы, а при горизонтальном броске в нём α = 0 и y = −gx²/(2v₀²).
Для броска на тот же уровень время находят из условия y = 0: кроме начального момента t = 0 получается t = 2v₀ᵧ/g. Наивысшая точка достигается, когда вертикальная скорость становится нулевой, поэтому максимальная высота относительно места броска равна H = v₀ᵧ²/(2g). Дальность вычисляют по горизонтальному движению: L = v₀ₓt. У горизонтального броска с высоты h сначала находят время падения из h = gt²/2, а затем используют L = v₀ₓt.
При броске на один уровень формула дальности принимает вид L = v₀² sin 2α/g. При фиксированных v₀ и g синус не может быть больше единицы, поэтому максимальная дальность достигается, когда 2α = 90°, то есть α = 45°. Одинаковое значение синуса имеют дополнительные углы α и 90° − α, поэтому они дают одинаковую дальность. Этот вывод относится именно к идеальной модели и одинаковым уровням броска и падения.
| Характеристика | Горизонтальный бросок | Наклонный бросок |
|---|---|---|
| Начальная скорость и её составляющие | v₀ₓ = v₀, v₀ᵧ = 0 | v₀ₓ = v₀ cos α, v₀ᵧ = v₀ sin α |
| Ускорение по горизонтали и вертикали | aₓ = 0, aᵧ = −g | aₓ = 0, aᵧ = −g |
| Закон изменения координат | x = v₀t, y = −gt²/2 (начало отсчёта в точке броска) | x = v₀ cos α · t, y = v₀ sin α · t − gt²/2 |
| Время полёта | t = √(2h/g), если высота броска над местом падения равна h | t = 2v₀ sin α/g |
| Максимальная высота подъёма | Относительно точки броска подъёма нет | H = v₀² sin² α/(2g) |
| Дальность полёта | L = v₀t | L = v₀² sin 2α/g |
| Форма траектории | Парабола | Парабола |
Сначала выберите столбец по способу броска, затем найдите нужную характеристику. В столбце горизонтального броска время зависит от высоты h, поскольку тело падает ниже точки старта; в формулах наклонного броска предполагается возвращение на исходный уровень. Если условия задачи отличаются от этих предположений, используйте уравнения координат и подставьте фактическую высоту места падения.
Мяч бросили горизонтально со скоростью 10 м/с с высоты 20 м. Найти время падения и дальность полёта, считая g = 10 м/с². По вертикали начальная скорость равна нулю, а по горизонтали она сохраняет значение 10 м/с. Поэтому сначала находим время падения, а потом используем его для расчёта расстояния вдоль земли.
Ответ: время падения — 2 с, дальность полёта — 20 м.
Тело бросили со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту и оно упало на уровень броска. Найти время полёта, максимальную высоту и дальность при g = 10 м/с². Сначала выделим вертикальную составляющую, которая определяет подъём и продолжительность полёта, и горизонтальную, которая определяет дальность. Значения тригонометрических функций: sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,866.
Ответ: время полёта — 2 с, максимальная высота — 5 м, дальность — примерно 34,6 м.
Тело должно пролететь 40 м и упасть на уровень броска. Начальная скорость равна 20 м/с, сопротивлением воздуха пренебрегаем, g = 10 м/с². Нужно выяснить, при каких углах возможна такая дальность. Используем формулу L = v₀² sin 2α/g, которая применима при одинаковом уровне старта и приземления.
Ответ: возможен один угол — 45°. В общем случае дальности меньше максимальной соответствуют два дополнительных угла, но здесь задана предельная дальность.
Считать, что горизонтальная скорость уменьшается под действием силы тяжести, — ошибка: тяжесть направлена вертикально и не создаёт горизонтального ускорения. Такое заблуждение возникает, когда действие силы на всё движение переносят на каждую ось отдельно. Проверьте проекции ускорения: aₓ = 0, значит, vₓ постоянно; вывод изменится, если учитывать сопротивление воздуха.
Подставлять начальную скорость целиком в формулы только горизонтального или только вертикального движения неверно при наклонном броске. В этих формулах участвует соответствующая проекция: v₀ₓ = v₀ cos α или v₀ᵧ = v₀ sin α. Ошибку часто провоцирует то, что в условии дана одна скорость, а в решении появляется несколько. Перед расчётом нарисуйте вектор скорости и проверьте, какую ось описывает формула.
Нельзя находить время полёта по горизонтальному движению: оно не сообщает, когда тело достигнет земли. Время определяется вертикальным перемещением и условием приземления, потому что именно высота меняется под действием g. Чтобы проверить решение, подставьте найденное t в вертикальное уравнение и убедитесь, что получается высота места падения.
Формула дальности L = v₀² sin 2α/g и вывод о максимуме при 45° относятся к броску на тот же уровень без сопротивления воздуха. Их иногда применяют автоматически, хотя при иной высоте приземления меняется время полёта, а сопротивление влияет на траекторию. Проверьте условия задачи: при другой высоте используйте уравнение y = v₀ᵧt − gt²/2 с нужной конечной координатой, а при заметном сопротивлении идеальная модель не описывает полёт точно.
Для решения задач нужны разложение вектора на составляющие, проекции векторов и кинематика равноускоренного движения: без этих инструментов нельзя отдельно записать движение по двум осям. Баллистическая модель связана с движением тел под действием силы тяжести и с законом сохранения энергии, который позволяет исследовать изменение скорости и высоты. Сравнение расчётов с реальным полётом показывает границы идеализации: сопротивление воздуха меняет скорость и траекторию, особенно при длительном движении или большой площади тела.
Почему горизонтальная скорость тела при баллистическом движении не меняется?
При пренебрежении сопротивлением воздуха на тело действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. Поэтому горизонтального ускорения нет, а горизонтальная составляющая скорости остаётся постоянной.
Как определить время полёта тела, брошенного под углом к горизонту?
Нужно записать закон вертикального движения: y = v₀ᵧt − gt²/2, если высоту отсчитывать от точки броска. Для приземления на тот же уровень положить y = 0 и выбрать ненулевое решение: t = 2v₀ᵧ/g.
Почему траектория баллистического движения является параболой?
По горизонтали координата растёт пропорционально времени, а по вертикали меняется по квадратичному закону из-за постоянного ускорения g. Если исключить время из этих уравнений, высота выразится через горизонтальную координату квадратичной зависимостью — уравнением параболы.
Всегда ли дальность полёта максимальна при угле 45°?
Нет. Этот результат верен при броске и падении на одном уровне, одинаковой начальной скорости и пренебрежении сопротивлением воздуха. При другой высоте приземления или заметном сопротивлении воздуха угол максимальной дальности может быть иным.
Можно ли применять формулы баллистического движения, если тело приземляется ниже точки броска?
Да, но формулу времени и дальности для падения на один уровень применять нельзя. Нужно задать координату места приземления в уравнении вертикального движения и найти время, а затем вычислить горизонтальное перемещение.
§ 15. Баллистическое движение
