§ 16. Кинематика периодического движения

Определения и обозначения

Периодическое движение — движение, при котором положение тела повторяется через равные промежутки времени. Повториться должно не только положение, но и состояние движения, например направление скорости. Наименьший промежуток, через который это происходит, называют периодом; он показывает длительность одного полного цикла.

Период обозначают T и определяют как время одного полного повторения движения. Единица периода в СИ — секунда (с). Зная период, можно определить, как часто повторяется движение, а также предсказать состояние тела в последующие моменты.

Частота ν — число полных повторений движения за единицу времени. Её единица измерения — герц (Гц), причём 1 Гц означает одно повторение за секунду. Частота и период связаны соотношением ν = 1/T: чем дольше длится цикл, тем меньше циклов укладывается в секунду.

Гармоническое колебание — периодическое движение, при котором координата изменяется по закону синуса или косинуса. Его общий вид: x = A cos(ωt + φ₀), где A — амплитуда, ω — циклическая частота, φ₀ — начальная фаза. Такая запись позволяет по времени определить координату тела и служит основой для нахождения скорости и ускорения.

Как это устроено

При периодическом движении тело через время T возвращается к прежнему состоянию: совпадают его координата и скорость. То же происходит через 2T, 3T и любое целое число периодов, потому что за каждый такой промежуток проходит одинаковый цикл. Одного совпадения координат недостаточно: тело может оказаться в той же точке, но двигаться в противоположную сторону.

Частота показывает, сколько циклов приходится на одну секунду, поэтому за время T выполняется один цикл и ν = 1/T. Для описания колебаний используют также фазу — величину, указывающую, на каком этапе цикла находится тело. За один полный цикл фаза должна измениться на 2π радиан, поэтому скорость изменения фазы ω равна 2π/T; отсюда ω = 2πν = 2π/T.

Представим точку, равномерно движущуюся по окружности радиуса R. Её радиус-вектор за равные времена поворачивается на равные углы, так что угол можно записать как φ = ωt + φ₀. Проекция точки на диаметр равна x = R cos φ, поэтому координата проекции меняется по косинусному закону; это и есть гармоническое движение с амплитудой R.

В уравнении x = A cos(ωt + φ₀) амплитуда A задаёт наибольшее по модулю отклонение от положения равновесия. Начальная фаза φ₀ определяет, где в цикле тело находится в момент t = 0. Если перенести начало отсчёта времени, моментам движения будут соответствовать другие значения времени, поэтому изменится φ₀, но амплитуда и частота останутся прежними.

Скорость — производная координаты по времени, поэтому дифференцирование косинуса даёт v = −Aω sin(ωt + φ₀). Ещё одно дифференцирование приводит к a = −Aω² cos(ωt + φ₀) = −ω²x. Скорость сдвинута по фазе относительно координаты на π/2, а ускорение противофазно координате: при положительном x ускорение направлено в сторону равновесия.

Кинематические величины при гармоническом движении

В формулах для координаты, скорости и ускорения аргумент косинуса или синуса — фаза колебания. Максимальные значения в таблице относятся к модулю величин: знак скорости и ускорения может быть как положительным, так и отрицательным. Для периода, частоты и циклической частоты в графе максимума значения не указывают: это параметры движения, а не колеблющиеся величины.

Разбор задач

Задача 1. Тело совершает 12 полных колебаний за 6 с. Найдём период и частоту. Сначала определим, сколько циклов приходится на одну секунду, а затем используем обратную связь частоты и периода.

1. Частота равна числу колебаний, делённому на время: ν = 12/6 = 2 Гц. Это означает, что за секунду тело совершает два полных колебания.

2. Период находим по формуле T = 1/ν = 1/2 = 0,5 с. Полученное значение действительно меньше секунды, так как за каждую секунду проходят два цикла.

Ответ: T = 0,5 с, ν = 2 Гц.

Задача 2. Координата задана уравнением x = 0,08 cos(4πt + π/3) м. Требуется определить амплитуду, циклическую частоту, период и начальную фазу. Сопоставим коэффициенты с общим законом x = A cos(ωt + φ₀).

1. Амплитуда — множитель перед косинусом, поэтому A = 0,08 м. Постоянное слагаемое в аргументе косинуса — начальная фаза: φ₀ = π/3 рад.

2. Коэффициент при t равен циклической частоте: ω = 4π рад/с. Это не частота ν в герцах: для перехода к периоду нужно использовать T = 2π/ω.

3. Подставляем ω: T = 2π/(4π) = 0,5 с. Таким образом, все искомые характеристики считаны из уравнения или найдены по связи периода с циклической частотой.

Ответ: A = 0,08 м, ω = 4π рад/с, T = 0,5 с, φ₀ = π/3 рад.

Задача 3. Тело движется по закону x = 0,10 cos(5t) м. Найдём координату, скорость и ускорение при t = 0,2 с, а также максимальные модули скорости и ускорения. Сначала продифференцируем закон координаты, чтобы получить общие выражения для v и a.

1. Из уравнения следует A = 0,10 м и ω = 5 рад/с. Скорость v = −0,10 · 5 sin(5t) = −0,5 sin(5t) м/с, ускорение a = −0,10 · 5² cos(5t) = −2,5 cos(5t) м/с².

2. При t = 0,2 с фаза равна 5t = 1 рад. Подстановка даёт x = 0,10 cos 1 ≈ 0,054 м, v = −0,5 sin 1 ≈ −0,421 м/с, a = −2,5 cos 1 ≈ −1,35 м/с².

3. Наибольший модуль скорости равен Aω = 0,10 · 5 = 0,50 м/с. Наибольший модуль ускорения равен Aω² = 0,10 · 25 = 2,5 м/с².

Ответ: при t = 0,2 с координата примерно 0,054 м, скорость −0,421 м/с, ускорение −1,35 м/с²; v_max = 0,50 м/с, a_max = 2,5 м/с².

Типичные ошибки

Путают период и частоту. Период измеряется в секундах, а частота — в герцах; они не равны друг другу, а обратно пропорциональны. Путаница возникает потому, что обе величины описывают повторяемость движения. Проверьте себя по формулам T = 1/ν и ν = 1/T: увеличение периода должно означать уменьшение частоты.

Принимают коэффициент при t за обычную частоту. В аргументе косинуса при t стоит циклическая частота ω, обычно выраженная в рад/с, а частота ν измеряется в герцах. Ошибка появляется из-за похожих обозначений и единиц, связанных с числом колебаний. Для проверки используйте ω = 2πν: если коэффициент равен ω, сначала разделите его на 2π, чтобы получить ν.

Считают амплитудой расстояние между крайними положениями. Амплитуда — максимальное отклонение от равновесия, а расстояние от одного края до другого равно 2A. Ошибку допускают, когда принимают весь размах движения за отклонение от середины. Отметьте положение равновесия: от него до любого крайнего положения расстояние A.

Забывают изменение фазы и знак при нахождении скорости и ускорения. Производная косинуса содержит минус и синус, а следующая производная даёт ускорение, противоположное координате. Это упускают, когда подставляют координатную формулу вместо производных. Проверьте результат: скорость сдвинута относительно координаты на π/2, а ускорение должно удовлетворять a = −ω²x.

Связь с другими темами

Для понимания гармонического движения нужно знать равномерное движение по окружности, угловую скорость и радианную меру угла: именно угловое вращение лежит в основе проекции на диаметр. Производная координаты по времени позволяет находить скорость, а связь векторов скорости и ускорения помогает понимать их направления. Кинематические формулы понадобятся при изучении динамики колебаний, маятников и механических волн, где выясняют причины движения и распространение колебаний.

Что запомнить

• Период T — время одного полного повторения движения.

• Частота ν показывает число повторений в единицу времени.

• ν = 1/T, а ω = 2πν = 2π/T.

• Гармоническое движение описывается законом x = A cos(ωt + φ₀) или эквивалентным законом через синус.

• Амплитуда A — максимальное отклонение от положения равновесия.

• Скорость и ускорение при гармоническом движении также изменяются периодически.

• Для гармонического движения ускорение пропорционально координате и направлено противоположно ей.