§ 12. Кинематика периодического движения

Определения и обозначения

Периодическое движение — движение, при котором положение тела повторяется через одинаковые промежутки времени. Это значит, что тело снова оказывается в тех же точках и проходит тот же путь в прежнем порядке. Такое описание помогает выделить повторяющийся цикл и сравнивать движения.

Период — время одного полного повторения движения; его обозначают T и измеряют в секундах. Полным повторением считают возвращение тела в прежнее состояние движения, а не просто в ту же точку. Период нужен, чтобы узнать, сколько длится один цикл.

Частота — число полных повторений движения за единицу времени; её обозначают ν и измеряют в герцах (Гц). Один герц означает одно повторение за секунду. Частота показывает, насколько часто происходит цикл, поэтому она удобна для сравнения быстрых колебаний.

Гармоническое движение — периодическое движение, при котором координата изменяется по закону синуса или косинуса. Такая зависимость описывает плавное повторение отклонений в обе стороны от положения равновесия. По ней можно рассчитывать координату и связанные с ней скорость и ускорение.

Как это устроено

Для полного описания движения мало знать, где тело находилось: важно также, куда и как быстро оно двигалось. Поэтому состояние движения задают координатой, скоростью и ускорением. При периодическом процессе все эти величины повторяются через период T, хотя их значения в один и тот же момент цикла могут быть разными.

Если за время t тело совершило N одинаковых циклов, частота равна ν = N/t, а период — T = t/N. Подставив одно выражение в другое, получаем ν = 1/T и T = 1/ν. Чем дольше длится один цикл, тем меньше циклов помещается в секунду, поэтому период и частота обратно пропорциональны.

Представим точку, равномерно движущуюся по окружности радиуса R. Её радиус-вектор за равные промежутки времени поворачивается на равные углы, а проекция на ось равна x = R cos φ. Поскольку угол φ изменяется равномерно, его можно записать как ωt + φ₀; значит, проекция меняется по закону косинуса. Здесь угловая частота ω показывает скорость изменения угла, а начальная фаза φ₀ задаёт положение точки в начале отсчёта.

В уравнении x = A cos(ωt + φ₀) амплитуда A задаёт максимальное отклонение от положения равновесия, а фаза — состояние движения в выбранный момент. При t = 0 координата равна x₀ = A cos φ₀, поэтому начальное положение зависит не только от амплитуды, но и от начальной фазы. Если φ₀ = 0, тело начинает движение из крайнего положения x = A.

Скорость — производная координаты по времени, а ускорение — производная скорости. Поэтому для гармонического движения v = −Aω sin(ωt + φ₀), а a = −Aω² cos(ωt + φ₀) = −ω²x. Множители ω и ω² появляются при дифференцировании фазы, которая сама зависит от времени; угловая частота связана с периодом соотношением ω = 2π/T, поскольку за цикл фаза изменяется на 2π радиан.

Основные величины периодического движения

Чтобы решить задачу, сначала сопоставьте данные с обозначениями в таблице, затем выберите подходящую формулу. Убедитесь, что единицы величин согласованы: например, время подставлено в секундах. В уравнении координаты амплитуда должна иметь те же единицы, что и координата.

Разбор задач

1. Число колебаний, период и частота

Маятник совершает 30 полных колебаний за 60 с. Найдём период и частоту. Здесь известны и число циклов, и общее время, поэтому можно применить определения обеих величин.

1. Один период — это время одного колебания, значит, T = t/N = 60/30 = 2 с.
2. Частота — число колебаний за секунду: ν = N/t = 30/60 = 0,5 Гц.
3. Проверим связь: 1/T = 1/2 = 0,5 Гц, что совпадает с найденной частотой.

Ответ: T = 2 с, ν = 0,5 Гц.

2. Параметры гармонического движения

Координата тела задана формулой x = 0,2 cos(4πt) м. Сравним её с общей записью x = A cos(ωt + φ₀). Это позволяет прочитать амплитуду и угловую частоту прямо из коэффициентов, а затем вычислить период и частоту.

1. Коэффициент перед косинусом равен амплитуде: A = 0,2 м.
2. Коэффициент при времени в фазе равен угловой частоте: ω = 4π рад/с.
3. Период T = 2π/ω = 2π/(4π) = 0,5 с.
4. Частота ν = 1/T = 2 Гц.

Ответ: A = 0,2 м, ω = 4π рад/с, T = 0,5 с, ν = 2 Гц.

3. Координата, скорость и ускорение в заданный момент

Тело движется по закону x = 0,1 cos(2πt + π/3) м. Найдём координату, скорость и ускорение при t = 1/6 с. Сначала определим фазу, а затем применим формулы движения; так удобнее избежать ошибки со знаком и множителем угловой частоты.

1. Фаза φ = 2π · 1/6 + π/3 = 2π/3. При этом cos φ = −1/2, sin φ = √3/2.
2. Координата x = 0,1 cos(2π/3) = −0,05 м.
3. Скорость v = −Aω sin φ = −0,1 · 2π · √3/2 = −0,1π√3 м/с ≈ −0,544 м/с.
4. Ускорение a = −ω²x = −(2π)² · (−0,05) = 0,2π² м/с² ≈ 1,97 м/с².

Ответ: x = −0,05 м, v ≈ −0,544 м/с, a ≈ 1,97 м/с².

Типичные ошибки

Период и частоту иногда принимают за одну и ту же характеристику: обе говорят о повторении, но период измеряется временем, а частота — числом циклов за секунду. Ошибку провоцирует похожий смысл величин. Проверьте результат по соотношениям ν = 1/T и T = 1/ν: если одна величина увеличилась, другая должна уменьшиться.

Амплитудой считают наибольшую координату, забывая о положении равновесия. Это неверно, если начало координат выбрано не в точке равновесия: амплитуда — расстояние от равновесия до крайнего положения. Чтобы проверить себя, найдите середину между крайними координатами, а затем максимальное отклонение от этой середины.

При нахождении скорости или ускорения теряют множитель угловой частоты. Так происходит, если дифференцировать косинус, но не учитывать, что его аргумент тоже зависит от времени. Проверка: после первого дифференцирования должен появиться множитель ω, после второго — ω²; единицы скорости и ускорения должны быть м/с и м/с².

Фазу путают с амплитудой, потому что обе входят в формулу координаты. Амплитуда задаёт максимальный размах, а фаза меняется со временем и определяет текущее состояние движения. Проверьте смысл величин: A выражается в метрах, фаза — в радианах и входит в аргумент синуса или косинуса.

Связь с другими темами

Для изучения периодического движения нужны знания о равномерном движении по окружности, радианной мере угла, синусе и косинусе. При выводе формул скорости и ускорения используется производная координаты по времени. Эти понятия позволяют перейти от геометрической модели вращения к описанию колебаний.

Тема служит основой для изучения динамики колебаний, математического и пружинного маятников. Описание периодических процессов также применяется при изучении волн, звука, переменного тока и электромагнитных колебаний. Во всех этих случаях повторяемость можно характеризовать периодом и частотой.

Что запомнить

• При периодическом движении состояние тела повторяется через период T.
• Частота и период связаны формулами ν = 1/T и T = 1/ν.
• Гармоническое движение описывается синусом или косинусом.
• Амплитуда — максимальное отклонение от положения равновесия.
• Угловая частота связана с периодом формулой ω = 2π/T.
• Проекция равномерного движения по окружности на диаметр является гармоническим движением.