"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Свободное падение — движение тела под действием одной только силы тяжести, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Эта модель помогает описывать падение и вертикальные броски с помощью формул равнопеременного движения. У поверхности Земли ускорение свободного падения примерно равно 9,8 м/с² и направлено вниз. Чтобы правильно применять формулы, нужно учитывать выбранное направление оси: от него зависит знак ускорения, но не его направление в реальности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободное падение — движение тела, на которое действует только сила тяжести; сопротивлением воздуха пренебрегают. Это не обязательно падение с большой высоты: так называют и движение после вертикального броска, если других заметных сил нет. Такая модель позволяет не учитывать сложное влияние воздуха и применять уравнения равноускоренного движения.
Ускорение свободного падения — ускорение тела при свободном падении; у поверхности Земли оно направлено вертикально вниз. Скорость тела при этом может быть направлена как вниз, так и вверх, но направление ускорения от этого не меняется. Понимание направления нужно, чтобы определить, будет ли скорость увеличиваться или уменьшаться.
Буквой g обозначают модуль ускорения свободного падения; у поверхности Земли g ≈ 9,8 м/с². Модуль — числовое значение величины без учёта направления, поэтому g записывают положительным. В уравнении движения ускорение может иметь знак «плюс» или «минус» — он определяется выбором оси координат.
При падении в воздухе на тело действует не только сила тяжести, но и сила сопротивления, направленная против движения. Если сопротивление заметно, ускорение уже не описывается одним постоянным значением g, и простые формулы свободного падения не подходят. Когда сопротивление мало по сравнению с силой тяжести, его влиянием можно пренебречь и считать, что тело движется только под действием тяжести. Именно такое условие делает модель удобной и позволяет применять к движению уравнения с постоянным ускорением.
Сила тяжести у тяжёлого тела больше, чем у лёгкого, но и инертность тяжёлого тела больше. По второму закону Ньютона ускорение равно отношению силы к массе: увеличение силы тяжести пропорционально увеличению массы. Поэтому отношение силы тяжести к массе, а значит и ускорение, оказывается одинаковым для тел разной массы в одном месте. В реальном воздухе результаты могут отличаться из-за разного сопротивления, например перо падает медленнее камня.
Ускорение свободного падения всегда направлено вертикально вниз, к Земле. Чтобы записать формулы, выбирают ось координат и считают одно из направлений положительным: если ось направлена вниз, проекция ускорения равна +g, а если вверх — −g. Само ускорение не меняет направления при смене оси; меняется только знак его проекции в уравнении. Поэтому до подстановки чисел полезно нарисовать ось и отметить на ней начальную скорость и ускорение.
Свободное падение у поверхности Земли рассматривают как движение с постоянным ускорением, поэтому применяют формулы v = v₀ + at и y = y₀ + v₀t + at²/2. Здесь v₀ — начальная скорость, v — скорость через время t, а y и y₀ — конечная и начальная координаты. При падении без начальной скорости и оси, направленной вниз, v₀ = 0 и a = g: получаются v = gt и h = gt²/2. Вторая формула даёт путь h только в случае, когда тело всё время движется вниз от начального положения.
При вертикальном броске вверх тело сначала движется вверх, но сила тяжести всё время сообщает ему ускорение вниз. Поэтому при оси, направленной вверх, a = −g: скорость выражается формулой v = v₀ − gt и постепенно уменьшается. В верхней точке v = 0, однако ускорение по-прежнему равно −g: оно меняет направление скорости, а не исчезает. После этой точки тело движется вниз, и модуль его скорости растёт.
| Случай движения | Начальная скорость | Скорость через время t | Координата через время t |
|---|---|---|---|
| Ось направлена вниз | v₀ | v = v₀ + gt | y = y₀ + v₀t + gt²/2 |
| Падение без начальной скорости, ось направлена вниз | v₀ = 0 | v = gt | h = gt²/2 |
| Бросок вверх, ось направлена вверх | v₀ > 0 | v = v₀ − gt | y = y₀ + v₀t − gt²/2 |
| Ускорение во всех случаях: модуль g, направление вертикально вниз. | |||
Сначала выбери направление оси и найди подходящую строку таблицы. Затем подставь известные значения, не забывая, что знак ускорения связан с осью, а g — положительный модуль. Координата показывает положение тела, а перемещение — изменение координаты; путь при движении в одном направлении можно приравнять модулю перемещения.
Выберем ось вниз: в этом направлении движется камень, поэтому проекция ускорения равна +g. Начальная скорость v₀ = 0, время t = 2 с. Для скорости и пути используем формулы v = gt и h = gt²/2.
Подставим значения: v = 10 · 2 = 20 м/с. Путь равен h = 10 · 2²/2 = 20 м. Полученные величины положительны, потому что и скорость, и перемещение направлены вниз.
Ответ: скорость камня 20 м/с вниз, путь 20 м.
Направим ось вверх. Тогда начальная скорость v₀ = 20 м/с, а проекция ускорения равна −g. В наивысшей точке скорость становится равна нулю, поэтому из v = v₀ − gt находим время подъёма: 0 = 20 − 10t, откуда t = 2 с.
Высоту подъёма найдём по формуле перемещения: h = v₀t − gt²/2. Подставляем время подъёма: h = 20 · 2 − 10 · 2²/2 = 40 − 20 = 20 м. Значение положительное, потому что тело переместилось вверх, вдоль выбранной положительной оси.
Ответ: время подъёма 2 с, максимальная высота 20 м.
Выберем ось вниз и начальную координату y₀ = 0. До земли тело проходит 45 м, начальная скорость v₀ = 5 м/с, ускорение равно +10 м/с². Из уравнения перемещения получаем 45 = 5t + 10t²/2, то есть 5t² + 5t − 45 = 0, или t² + t − 9 = 0.
Решаем квадратное уравнение: t = (−1 ± √37)/2. Отрицательное значение времени не подходит, поэтому берём положительный корень: t ≈ 2,54 с. Проверка: при таком времени тело действительно успевает пройти вниз 45 м.
Скорость перед ударом находим по формуле v = v₀ + gt: v ≈ 5 + 10 · 2,54 = 30,4 м/с. Она направлена вниз, поскольку ось выбрана в этом направлении, а тело всё время падало.
Ответ: время падения примерно 2,54 с, скорость перед ударом примерно 30,4 м/с вниз.
Считать свободным падением любое падение. Так делают, потому что в обычной речи падением называют любое движение вниз. Но при существенном сопротивлении воздуха действует дополнительная сила, и модель свободного падения не подходит. Проверь себя: сравни влияние сопротивления с силой тяжести и используй модель только тогда, когда сопротивлением можно пренебречь.
Менять направление ускорения в верхней точке броска вверх. Ошибка возникает из-за того, что скорость там на мгновение равна нулю. Однако сила тяжести не исчезает, поэтому ускорение остаётся направлено вниз. Для проверки спроси себя, какое взаимодействие продолжает действовать на тело в этой точке.
Подставлять g со знаком, не согласовав его с осью координат. Модуль g положителен, но проекция ускорения может быть как +g, так и −g. Если знак выбирают наугад, формулы дают неверный результат. Нарисуй ось: ускорение получает знак направления, в котором оно направлено относительно положительной оси.
Путать путь и перемещение при движении вверх и вниз. Перемещение зависит от начального и конечного положения и учитывает направление, а путь равен полной длине пройденной траектории. Ошибка особенно вероятна, если тело сначала поднялось, а затем опустилось. Проверь, изменяло ли тело направление движения: при развороте путь складывается из участков, а перемещение — их направленных изменений координаты.
Для изучения свободного падения нужны понятия скорости и ускорения, а также уравнения координаты и скорости при равнопеременном прямолинейном движении. Гравитационное ускорение — частный случай постоянного ускорения, поэтому знакомый способ решения задач остаётся тем же: выбрать ось, записать уравнения и подставить данные. Позже эти знания пригодятся для описания тел, брошенных под углом к горизонту. Такое движение можно разложить на горизонтальное и вертикальное, причём по вертикали тело также движется под действием силы тяжести.
Почему лёгкие и тяжёлые тела в вакууме падают одинаково?
В вакууме на тело действует сила тяжести, а сопротивления воздуха нет. Хотя тяжёлое тело испытывает большую силу тяжести, его масса, то есть мера инертности, тоже больше в той же пропорции. Поэтому ускорение у тел одинаково.
Можно ли считать падение пера свободным падением?
В воздухе сопротивление заметно влияет на движение пера, поэтому его падение обычно нельзя считать свободным. В вакууме или в условиях, где сопротивлением можно пренебречь, перо падает как тело в свободном падении.
Какое значение ускорения свободного падения брать в задаче?
Если в условии не указано другое, обычно берут g ≈ 9,8 м/с². Для упрощения вычислений во многих задачах разрешают использовать g = 10 м/с². Следуй значению из условия или указаниям учителя.
Почему при движении тела вверх ускорение направлено вниз?
После броска на тело действует сила тяжести, направленная вниз. Поэтому ускорение также направлено вниз, хотя некоторое время тело продолжает двигаться вверх по инерции. Скорость и ускорение могут иметь противоположные направления.
Что происходит со скоростью тела в верхней точке броска?
В верхней точке мгновенная скорость тела равна нулю: движение вверх заканчивается, а движение вниз ещё не началось. Но сила тяжести продолжает действовать, поэтому ускорение не равно нулю и направлено вниз.
§ 15. Свободное падение тел
