§ 14. Движение с постоянным ускорением

Определения и обозначения

Равноускоренное движение — движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению. Поэтому за любые равные промежутки времени скорость изменяется одинаково: например, каждую секунду она может увеличиваться на 2 м/с. Это определение помогает распознать ситуации, для которых подходят формулы движения с постоянным ускорением.

Ускорение — векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени: a = (v − v₀)/t. Его обозначают буквой a, измеряют в м/с². Ускорение показывает, как быстро меняется скорость и в каком направлении, поэтому по нему можно описать разгон или торможение.

Начальная скорость — скорость тела в момент, который выбран началом отсчёта времени; её обозначают v₀. Она может быть не равна нулю: например, тело уже двигалось до начала наблюдения. Это обозначение нужно, чтобы задать начальное условие и не считать ошибочно, что любое движение начинается из покоя.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с его положением через заданное время. Его проекция на ось может быть положительной или отрицательной, а путь всегда неотрицателен и учитывает всю траекторию. Различать эти величины нужно, чтобы правильно описывать движение, особенно если тело меняет направление.

Как это устроено

Ускорение показывает изменение скорости за единицу времени, а направление его вектора задаёт направление этого изменения. В задачах движение часто рассматривают вдоль выбранной оси и используют проекции векторов на неё. Поэтому проекция ускорения может иметь знак плюс или минус: знак зависит от того, куда направлена положительная ось. Сам вектор ускорения при этом не становится «меньше нуля» — отрицательной бывает именно его проекция.

При постоянном ускорении за каждую секунду скорость изменяется на одну и ту же величину. За время t изменение проекции скорости равно at, поскольку ускорение показывает изменение за секунду. Если к этому изменению прибавить начальную проекцию скорости, получим v = v₀ + at. Формула работает и при отрицательном a: тогда проекция скорости уменьшается, но это не всегда означает, что уменьшается модуль скорости.

Чтобы найти перемещение, можно воспользоваться средней скоростью: за время равномерного изменения скорости она равна полусумме начальной и конечной скоростей. Подстановка v = v₀ + at в s = ((v₀ + v)/2)t приводит к формуле s = v₀t + at²/2. Первый член описывает перемещение, которое дала бы начальная скорость за время t, второй учитывает дополнительное изменение скорости. Формула относится к проекции перемещения вдоль выбранной оси.

Координата показывает положение тела относительно начала координат. Если начальная координата равна x₀, то конечную находят, прибавляя к ней проекцию перемещения: x = x₀ + s. После подстановки формулы перемещения получается x = x₀ + v₀t + at²/2. Так можно определить не только, насколько тело сдвинулось, но и где оно окажется в заданный момент времени.

На графике проекции скорости от времени постоянное ускорение изображается прямой, потому что скорость линейно зависит от времени. Наклон прямой показывает, насколько быстро меняется скорость: чем он круче, тем больше модуль ускорения. Площадь между графиком и осью времени даёт проекцию перемещения за выбранный интервал. Если график оказывается ниже оси времени, площадь учитывают со знаком минус.

Основные величины и уравнения движения с постоянным ускорением

Сначала выберите ось и определите знаки проекций, затем выпишите известные величины и ту, которую требуется найти. Выбирайте формулу, в которой есть искомая величина и известные данные; если время не дано и не требуется, используйте связь без времени. Проверяйте единицы измерения и не подставляйте модуль скорости вместо её проекции.

Разбор задач

Автомобиль начинает движение из состояния покоя и движется с ускорением 2 м/с² в течение 5 с. Найти его конечную скорость.

Автомобиль начинает движение из состояния покоя, значит, начальная скорость v₀ = 0. Ускорение направлено вдоль движения, поэтому его проекция положительна: a = 2 м/с². Нужно найти скорость через t = 5 с, следовательно, подходит формула v = v₀ + at.

1. Записываем данные в СИ: v₀ = 0 м/с, a = 2 м/с², t = 5 с. Единицы уже согласованы, поэтому дополнительный перевод не требуется.
2. Подставляем значения: v = 0 + 2 · 5 = 10 м/с. Ускорение за пять секунд увеличило скорость на 10 м/с.
3. Проверяем единицы: м/с² · с = м/с, то есть получена единица скорости. Значит, вычисление соответствует искомой величине.

Ответ: 10 м/с.

Велосипедист движется со скоростью 6 м/с и за 4 с равномерно увеличивает её до 10 м/с. Найти ускорение и перемещение за это время.

Начальная и конечная скорости направлены вдоль движения, поэтому считаем их положительными проекциями. Сначала найдём ускорение по изменению скорости, а затем перемещение за 4 секунды. Поскольку ускорение постоянно, перемещение можно вычислить через среднюю скорость.

1. Находим изменение скорости: 10 − 6 = 4 м/с. Делим его на время: a = (10 − 6)/4 = 1 м/с².
2. Средняя скорость равна полусумме начальной и конечной: vср = (6 + 10)/2 = 8 м/с. Такой способ подходит, поскольку скорость изменялась равномерно.
3. Вычисляем перемещение: s = vсрt = 8 · 4 = 32 м. Для проверки можно подставить данные в s = v₀t + at²/2: 6 · 4 + 1 · 16/2 = 32 м.

Ответ: ускорение 1 м/с², перемещение 32 м.

Тело движется вдоль оси: x₀ = 3 м, v₀ = 12 м/с, a = −2 м/с². Определить, когда тело остановится, и найти его координату в этот момент.

Отрицательное ускорение направлено против положительной оси, а начальная скорость направлена вдоль неё. Поэтому скорость уменьшается и в момент остановки становится равной нулю. Сначала найдём это время из уравнения скорости, затем определим координату.

1. Записываем условие остановки: v = 0. Из формулы v = v₀ + at получаем 0 = 12 − 2t, откуда t = 6 с.
2. Подставляем время в уравнение координаты: x = x₀ + v₀t + at²/2. Получаем x = 3 + 12 · 6 − 2 · 36/2 = 39 м.
3. Проверяем смысл результата: за 6 с тело прошло в положительном направлении, но тормозило. Поэтому координата стала больше начальной, что согласуется с направлением движения.

Ответ: тело остановится через 6 с в точке с координатой 39 м.

Типичные ошибки

Считать ускорение положительным всегда. Так поступают, когда воспринимают ускорение только как величину разгона и забывают о направлении оси. Но знак проекции определяется тем, куда направлено ускорение относительно положительного направления. Проверьте себя: сначала нарисуйте ось и направление вектора, а затем поставьте знак его проекции.

Подменять перемещение путём. Это происходит, если любую пройденную длину обозначают как перемещение. При изменении направления путь складывается из участков траектории, а перемещение соединяет только начальную и конечную точки. Для проверки сравните ответ с рисунком движения: путь не может быть меньше модуля перемещения.

Использовать формулы так, будто начальная скорость равна нулю. Часто в формулах автоматически оставляют только слагаемые с ускорением, хотя тело могло двигаться ещё до начала отсчёта времени. Это приводит к потере вклада v₀t. Перед вычислениями выпишите начальную скорость из условия; если тело стартует из покоя, отдельно укажите v₀ = 0.

Путать знак проекции скорости со знаком её модуля. Проекция может быть отрицательной, если тело движется против выбранного положительного направления, но модуль скорости не бывает отрицательным. Ошибка возникает, когда подставляют в формулу то проекцию, то модуль, не различая их. Проверьте, о чём спрашивает задача: для уравнений вдоль оси используйте проекции, а для быстроты движения — модуль.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями нужны понятия скорости, координаты, перемещения и проекции вектора на ось. Проекция позволяет заменить векторные величины числами со знаками, что упрощает расчёты вдоль прямой. Поэтому важно заранее выбрать положительное направление и придерживаться его во всей задаче.

Тема продолжает изучение равномерного движения. Если ускорение равно нулю, формулы переходят в v = v₀ и x = x₀ + v₀t: скорость остаётся постоянной, а координата меняется линейно со временем. Значит, равномерное движение можно рассматривать как частный случай движения с постоянным ускорением.

Уравнения постоянного ускорения понадобятся при изучении свободного падения и движения под действием постоянной силы. В таких задачах сначала определяют ускорение и его направление, а затем используют уравнения скорости и координаты. Так кинематическое описание связывается с причинами движения.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Скорость меняется по закону v = v₀ + at.
• Перемещение равно s = v₀t + at²/2.
• Координата равна x = x₀ + v₀t + at²/2.
• Знак ускорения зависит от выбора положительного направления оси.
• Площадь под графиком проекции скорости от времени равна проекции перемещения.