§ 1.16. Движение с постоянным ускорением

Определения и обозначения

Ускорение — векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени: a = (v − v₀)/t. В СИ ускорение измеряют в метрах в секунду за секунду, или м/с². Оно показывает, насколько быстро меняется скорость, а не насколько быстро движется тело.

Постоянное ускорение — ускорение, которое в рассматриваемом промежутке времени не меняется ни по модулю, ни по направлению. Для движения вдоль прямой его проекция остаётся одной и той же. Такое условие позволяет описать движение простыми формулами.

Равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением, при котором за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. Например, если за каждую секунду проекция скорости увеличивается на 2 м/с, ускорение постоянно. Термин помогает отличать это движение от случая, когда изменение скорости со временем меняется.

Мгновенная скорость — скорость тела в данный момент времени. При постоянном ускорении она связана с начальной скоростью формулой v = v₀ + at. Здесь v₀ — скорость при t = 0, а формула позволяет узнать скорость в любой момент выбранного интервала.

Как это устроено

Определение ускорения можно записать как a = (v − v₀)/t, где v₀ — начальная, а v — конечная скорость за время t. Если a постоянно, выразим из равенства конечную скорость: v = v₀ + at. Значит, за каждую секунду скорость изменяется на одну и ту же величину, а её график зависит от времени линейно.

Перемещение за время движения связано со средней скоростью: s = vсрt. При постоянном ускорении скорость равномерно изменяется от v₀ до v, поэтому средняя скорость равна полусумме этих значений: vср = (v₀ + v)/2. Подставив её, получаем s = (v₀ + v)t/2; после замены v на v₀ + at выходит s = v₀t + at²/2.

Координату тела находят, прибавляя перемещение к начальной координате: x = x₀ + s. Поэтому закон координаты имеет вид x = x₀ + v₀t + at²/2. Начальная координата x₀ задаёт положение тела при t = 0; если начало отсчёта выбрано в этом положении, x₀ = 0, но в общем случае её нельзя опускать.

Движение вдоль прямой описывают проекциями на выбранную ось. Сначала задают положительное направление, затем со знаками записывают скорость, ускорение и перемещение: величина направлена по оси — её проекция положительна, против оси — отрицательна. Поэтому отрицательное ускорение не обязательно означает замедление: оно может увеличивать скорость, если скорость тоже направлена против оси.

Равноускоренное движение означает постоянное ускорение, а равнозамедленное — уменьшение модуля скорости. При торможении ускорение направлено противоположно скорости, поэтому модуль скорости падает. Когда скорость становится нулевой, тело на мгновение останавливается; если ускорение не исчезло, дальше оно может начать двигаться в обратном направлении.

Величины и уравнения движения с постоянным ускорением

Сначала определите, что требуется найти, и выберите формулу с нужной величиной. Если направление имеет значение, работайте с проекциями и сохраняйте знаки. Перед подстановкой проверьте, что единицы измерения согласованы.

Разбор задач

Скорость автомобиля

Автомобиль начинает движение со скоростью 5 м/с и движется с постоянным ускорением 2 м/с². Нужно найти скорость через 6 с. Начальную скорость и ускорение уже задали в единицах СИ, поэтому дополнительный перевод не нужен.

1. Выбираем закон скорости: v = v₀ + at, потому что известны начальная скорость, ускорение и время.
2. Подставляем данные: v = 5 м/с + 2 м/с² · 6 с = 17 м/с. Ускорение за 6 секунд добавило к скорости 12 м/с.

Ответ: через 6 с скорость автомобиля равна 17 м/с.

Координата и скорость тела

Тело движется вдоль оси OX: x₀ = 10 м, v₀ = 4 м/с, a = −1 м/с². Требуется найти координату, перемещение и скорость через 5 с. Отрицательный знак ускорения показывает, что его проекция направлена против положительной оси.

1. Находим скорость: v = v₀ + at = 4 м/с − 1 м/с² · 5 с = −1 м/с.
2. Вычисляем перемещение: s = v₀t + at²/2 = 4 · 5 − 1 · 25/2 = 7,5 м. Положительный результат означает, что итоговое смещение направлено по оси OX.
3. Находим координату: x = x₀ + s = 10 м + 7,5 м = 17,5 м. Она остаётся положительной относительно начала координат.

Ответ: v = −1 м/с, s = 7,5 м, x = 17,5 м. Отрицательная скорость показывает, что к пятой секунде тело уже движется против оси; оно остановилось раньше, а затем развернулось.

Торможение автомобиля

Автомобиль движется со скоростью 20 м/с и равномерно тормозит с ускорением −4 м/с². Нужно определить время остановки и тормозной путь. Направление движения примем за положительное, поэтому ускорение торможения имеет отрицательный знак.

1. В момент остановки скорость равна нулю. Из уравнения v = v₀ + at получаем 0 = 20 − 4t, откуда t = 5 с.
2. Находим перемещение до остановки: s = v₀t + at²/2 = 20 · 5 − 4 · 25/2 = 50 м.

Ответ: автомобиль остановится через 5 с, его тормозной путь равен 50 м. Положительное перемещение показывает, что за время торможения автомобиль продолжал двигаться вперёд.

Типичные ошибки

Ускорение иногда принимают за саму скорость, хотя оно характеризует изменение скорости за время. Ошибку провоцируют одинаковые единицы в словесных описаниях движения, но величины физически разные. Проверьте смысл ответа: скорость измеряется в м/с, ускорение — в м/с².

Нельзя считать ускорение положительным при любом разгоне. Его знак зависит от выбранной оси, а разгон определяется тем, растёт ли модуль скорости; если тело движется против оси и ускорение направлено туда же, проекция ускорения отрицательна. Для проверки сравните направления скорости и ускорения, а не только их знаки.

Если отбросить начальную скорость или координату, решение потеряет часть начальных условий. Так бывает, когда формулу запоминают как набор символов и не проверяют, откуда начинается отсчёт. Подставьте t = 0: закон скорости должен дать v₀, а закон координаты — x₀.

Подстановка секунд вместе с километрами в час или ускорением в других единицах даёт несогласованный результат. Причина часто в пропущенном переводе единиц или преждевременном округлении. Переведите данные в СИ до вычислений и округляйте только итог, сохраняя промежуточные значения.

Связь с другими темами

Для работы с проекциями скорости и ускорения нужны векторное сложение, понятия координаты и перемещения, а также знания о скорости и равномерном движении. Начальные координата и скорость задают условия, от которых отсчитывается изменение движения. Это помогает перейти от описания движения словами к расчётам.

Законы постоянного ускорения применяются к свободному падению и к движению тела, брошенного вертикально или под углом к горизонту. В таких задачах ускорение связано с действием силы тяжести, а выбранные оси определяют знаки величин. Те же уравнения позволяют исследовать графики и учитывать относительность движения.

Дальше эти законы используют при решении задач динамики: по силам находят ускорение, а затем описывают скорость и координату тела. Они дают общий способ связать причину изменения движения с его результатом. Поэтому важно уверенно выбирать направление оси и составлять уравнения.

Что запомнить

• Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость.
• При постоянном ускорении скорость изменяется линейно со временем.
• Координата при постоянном ускорении является квадратичной функцией времени.
• Перемещение можно найти через среднюю скорость или по уравнению движения.
• Знаки скорости, ускорения и перемещения зависят от выбора положительного направления оси.
• При торможении ускорение направлено противоположно скорости.
• При нулевом ускорении движение превращается в равномерное.