§ 37. Свободное падение тел

Определения и обозначения

Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести при пренебрежимо малом сопротивлении воздуха. Это модель, которая позволяет отдельно изучить влияние тяжести, не учитывая другие воздействия. Если сопротивление воздуха заметно, модель нужно применять осторожно.

Ускорение — величина, показывающая, как изменяется скорость тела за единицу времени. Оно помогает описать не только то, насколько быстро движется тело, но и то, как меняется его скорость. Ускорение измеряется в метрах в секунду за секунду.

Ускорение свободного падения — постоянное ускорение тела при свободном падении около поверхности Земли, направленное вертикально вниз. Оно показывает, как сила тяжести меняет движение тела. Направление ускорения важно учитывать при описании движения и выборе знаков в формулах.

Ускорение свободного падения обозначают буквой g; его значение около Земли приблизительно равно 9,8 м/с², а в школьных задачах часто принимается равным 10 м/с². Единица м/с² говорит, насколько меняется скорость за одну секунду. Букву g не следует путать со скоростью: это разные физические величины.

Как это устроено

Свободное падение — не утверждение, что на тело вообще не действуют силы: на него действует сила тяжести. Воздух тоже может влиять на движение, но в простой модели его сопротивление считают очень малым по сравнению с тяжестью. Это приближение удобно, когда сопротивление не успевает заметно изменить скорость. Поэтому модель особенно хорошо описывает падение в вакууме или движение плотного небольшого тела на коротком участке.

Сила тяжести сообщает телу ускорение, то есть изменяет его скорость. Около поверхности Земли это ускорение направлено вертикально вниз и почти одинаково для тел разной массы. Более тяжёлое тело испытывает большую силу тяжести, но и его инертность больше; в результате ускорения совпадают, если не учитывать сопротивление воздуха. Поэтому в одинаковых условиях вакуума лёгкое и тяжёлое тела падают одинаково.

Значение g можно понимать как изменение скорости за одну секунду падения: скорость вниз становится больше примерно на 9,8 м/с. Например, за две секунды скорость тела, начавшего падать без начальной скорости, увеличится примерно на 19,6 м/с. Это не означает, что сама скорость равна 9,8 м/с всё время: она зависит от продолжительности падения. В задачах вместо 9,8 часто используют округлённое значение 10 м/с².

Если тело начинает падать из состояния покоя, его начальная скорость равна нулю. Тогда скорость через время t находят по формуле v = gt, а путь — по формуле s = gt²/2. Первая формула показывает прямую зависимость скорости от времени, а во второй время возводится в квадрат. Формулы применяют, когда тело свободно падает, начальная скорость равна нулю, а g считают постоянным.

Путь за равные промежутки времени увеличивается, потому что тело с каждой секундой движется быстрее. За очередную секунду оно успевает пройти большее расстояние, чем за предыдущую. Например, если скорость на начале очередного промежутка выше, то за такую же длительность тело проходит больший путь. Это объясняет, почему при равномерном ускорении путь не растёт просто пропорционально времени.

На графике скорости от времени при падении из состояния покоя получается прямая линия: каждому моменту соответствует скорость v = gt. Чем больше время, тем выше скорость; наклон прямой показывает ускорение свободного падения. По точкам графика можно увидеть, что за одинаковое увеличение времени скорость возрастает на одинаковую величину. Числа на графике округлены, поэтому при g = 9,8 м/с² скорость за три секунды равна примерно 29,4 м/с.

Основные величины при свободном падении тела из состояния покоя

Сначала выясните, какие величины известны и что требуется найти, а затем выберите подходящую формулу. Формулы в таблице относятся к падению из состояния покоя; для тела с начальной скоростью путь нужно считать иначе. Следите, чтобы все величины были выражены в единицах СИ.

Разбор задач

Задача 1. Тело падает с высоты 20 м без начальной скорости. Найти время падения, если g = 10 м/с². Известен путь, поэтому удобно начать с формулы для пути при падении из состояния покоя. После преобразования получим время, а корень со знаком минус не подходит, так как длительность движения не может быть отрицательной.

1. Запишем формулу: s = gt²/2.
2. Выразим время: t² = 2s/g, значит t = √(2s/g).
3. Подставим данные: t = √(2 · 20/10) = √4 = 2 с.

Ответ: тело упадёт за 2 с. Проверка по размерности тоже полезна: в выражении 2s/g получается секунда в квадрате, а после извлечения корня — секунды.

Задача 2. Найти скорость и путь через 3 с после начала свободного падения из состояния покоя. В условии не указано округление g, поэтому возьмём g = 9,8 м/с². Скорость и путь — разные величины, для них применяются две разные формулы. Обе подстановки выполняем отдельно, сохраняя секунды и метры в секунду в квадрате.

1. Скорость: v = gt = 9,8 · 3 = 29,4 м/с.
2. Путь: s = gt²/2 = 9,8 · 3²/2 = 44,1 м.
3. Проверим единицы: скорость получилась в м/с, а путь — в метрах.

Ответ: через 3 с скорость равна 29,4 м/с вниз, путь — 44,1 м. Направление скорости указываем отдельно, потому что число 29,4 само по себе показывает только её величину.

Задача 3. Тело брошено вертикально вниз с высоты 60 м со скоростью 5 м/с. Найти время до земли. Начальная скорость не равна нулю, поэтому использовать только s = gt²/2 нельзя: тело успевает пройти расстояние и за счёт первоначального движения. Считаем направление вниз положительным и принимаем g = 10 м/с².

1. Запишем путь с учётом начальной скорости: 60 = 5t + 10t²/2.
2. Упростим: 60 = 5t + 5t², или t² + t − 12 = 0.
3. Разложим: (t + 4)(t − 3) = 0. Получаем t = −4 с или t = 3 с.
4. Отрицательное время не описывает время падения после броска, поэтому оставляем t = 3 с.

Ответ: тело достигнет земли через 3 с. Проверка: за это время начальное движение даёт 15 м, а ускоренное падение — 45 м; всего получается 60 м.

Типичные ошибки

• Считать свободным падением любое движение вниз. Так думают, потому что в обычной речи «падает» означает просто движется вниз, но в физической модели учитывается только сила тяжести. Проверьте, не действует ли заметно сопротивление воздуха или другая сила: если действует, условие свободного падения не выполнено.

• Полагать, что в вакууме тяжёлое тело падает быстрее лёгкого. Часто это представление возникает из повседневных наблюдений, где воздух тормозит лёгкие и широкие предметы сильнее. В вакууме ускорение свободного падения от массы не зависит; сравните тела при одинаковых начальных условиях.

• Подставлять s = gt²/2, даже если тело имело начальную скорость. Эта формула относится к началу движения из состояния покоя, и её легко запомнить без условий применения. Перед расчётом проверьте начальную скорость: при броске вниз используйте s = v₀t + gt²/2.

• Путать ускорение g со скоростью. Обе величины связаны с движением, поэтому их обозначения и единицы иногда смешивают. Проверьте размерность: g измеряется в м/с² и показывает изменение скорости за секунду, а скорость — в м/с.

Связь с другими темами

Для изучения свободного падения нужно знать, что такое сила тяжести, движение и скорость, а также понимать смысл ускорения и формулы равнопеременного движения. При решении задач важно различать направление силы и вектора скорости: тело может двигаться вниз, и ускорение при этом тоже направлено вниз. Свободное падение станет основой для изучения вертикального броска и движения тела под действием силы тяжести. Те же представления пригодятся при рассмотрении закона сохранения энергии и движения искусственных спутников.

Что запомнить

• Свободное падение происходит под действием только силы тяжести.
• При свободном падении около поверхности Земли тело движется с ускорением.
• Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз.
• g приблизительно равно 9,8 м/с², а в школьных задачах часто принимается равным 10 м/с².
• При падении из состояния покоя v = gt.
• При падении из состояния покоя s = gt²/2.
• Ускорение свободного падения практически не зависит от массы тела.