§ 36. Путь, пройденный телом при равноускоренном прямолинейном движении

Определения и обозначения

Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой, при котором скорость за равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину. Например, каждую секунду скорость может увеличиваться на 2 м/с. Это определение нужно, чтобы отличать такое движение от равномерного, где скорость не меняется.

Путь — длина траектории, пройденная телом; его обозначают буквой s и измеряют в метрах. Путь показывает, какое расстояние тело прошло за выбранный промежуток времени. В задачах именно эту величину обычно требуется найти по известным скорости, ускорению и времени.

Начальная скорость — скорость тела в начальный момент наблюдения; она обозначается v₀. Тело может начать движение из покоя, тогда v₀ = 0, но может уже двигаться, и тогда начальная скорость не равна нулю. От значения v₀ зависит часть пути, которую тело прошло бы даже без ускорения.

Ускорение — величина, показывающая изменение скорости за единицу времени; его обозначают a и измеряют в м/с². Если a положительно в выбранном направлении, скорость увеличивается, а при противоположном знаке уменьшается. Ускорение позволяет узнать, как быстро меняется скорость и какой добавочный путь появляется из-за этого изменения.

Как это устроено

При равноускоренном движении скорость нельзя считать постоянной, потому что каждую секунду она изменяется на одну и ту же величину. Ускорение показывает, насколько изменится скорость за одну секунду, поэтому за время t изменение скорости составит at. Если начальная скорость равна v₀, то к ней прибавляется это изменение и получается закон v = v₀ + at.

Путь за промежуток времени можно найти через среднюю скорость: s = vсрt. Средняя скорость нужна потому, что во время равноускоренного движения тело движется не всё время с одной скоростью. При постоянном ускорении она равна полусумме начальной и конечной скоростей: vср = (v₀ + v)/2.

Подставим в формулу средней скорости закон изменения скорости v = v₀ + at. Тогда vср = (v₀ + v₀ + at)/2 = v₀ + at/2. Умножение на время даёт s = vсрt = (v₀ + at/2)t, откуда получается формула пути s = v₀t + at²/2.

В выражении s = v₀t + at²/2 первое слагаемое показывает путь, связанный с начальной скоростью, а второе — добавочный путь из-за ускорения. При увеличении времени первое слагаемое растёт пропорционально t, а второе — пропорционально t². Поэтому при разгоне вклад ускорения со временем становится всё заметнее, и за равные промежутки времени тело проходит всё большие расстояния.

Для разгона ускорение и скорость обычно направлены одинаково, поэтому при выбранном направлении движения a имеет положительный знак. При торможении ускорение направлено против скорости, и его знак становится отрицательным. Если тело начинает движение из покоя, v₀ = 0, а формула упрощается до s = at²/2; при подстановке всегда нужно проверить направление оси и единицы величин.

Величины и формулы для определения пути при равноускоренном движении

Сначала определите, какие величины известны, и выберите строку с подходящей формулой. Затем приведите все данные к согласованным единицам и только после этого подставляйте их в выражение. Если начальная скорость не равна нулю, не удаляйте первое слагаемое v₀t.

Разбор задач

Задача 1

Автомобиль начинает движение из состояния покоя и движется с ускорением 2 м/с² в течение 5 с. Требуется найти путь. Начальная скорость равна нулю, поэтому использовать нужно сокращённую формулу.

1. Запишем данные: v₀ = 0, a = 2 м/с², t = 5 с.
2. Применим формулу для движения из покоя: s = at²/2.
3. Подставим значения: s = 2 · 5²/2 = 25 м.

Ответ: автомобиль прошёл 25 м. Квадрат времени здесь показывает, что при постоянном разгоне расстояние увеличивается быстрее, чем при равномерном движении.

Задача 2

Велосипедист движется с начальной скоростью 4 м/с и ускорением 1,5 м/с² в течение 6 с. Нужно определить путь, поэтому учитываем и уже имеющуюся скорость, и разгон. Все данные уже выражены в единицах СИ.

1. Запишем данные: v₀ = 4 м/с, a = 1,5 м/с², t = 6 с.
2. Возьмём общую формулу: s = v₀t + at²/2.
3. Вычислим слагаемые: v₀t = 4 · 6 = 24 м, а at²/2 = 1,5 · 36/2 = 27 м.
4. Сложим их: s = 24 + 27 = 51 м.

Ответ: велосипедист прошёл 51 м. Первое слагаемое связано с начальным движением, второе показывает добавочный путь от ускорения.

Задача 3

Поезд двигался со скоростью 20 м/с и начал равномерно тормозить с ускорением −0,5 м/с². Найдём путь до остановки, выбрав направление движения положительным. Сначала определим время, когда конечная скорость станет равной нулю.

1. Используем закон скорости: v = v₀ + at.
2. При остановке v = 0, поэтому 0 = 20 − 0,5t, откуда t = 40 с.
3. Подставим время в формулу пути: s = 20 · 40 + (−0,5) · 40²/2.
4. Получим s = 800 − 400 = 400 м.

Ответ: поезд прошёл до остановки 400 м. Отрицательное ускорение уменьшает скорость и поэтому вычитает часть пути, рассчитанного по начальной скорости.

Типичные ошибки

Подстановка времени в минутах или часах без перевода в секунды приводит к неверному ответу. Ошибку допускают, потому что единица времени иногда не замечается среди данных. Проверьте, что при a в м/с² время указано в секундах.

Иногда используют только слагаемое at²/2, хотя тело имело ненулевую начальную скорость. Так делают, перенося формулу движения из покоя на любой случай. Перед вычислением отдельно запишите v₀: если v₀ ≠ 0, нужно оставить слагаемое v₀t.

При торможении ускорение ошибочно считают положительным. Причина в том, что слово ускорение связывают только с увеличением скорости, хотя знак определяется направлением оси. Выберите положительное направление и проверьте: при движении вперёд торможение должно дать отрицательное a.

Путь путают с конечной скоростью и подставляют величину v вместо s. Это разные физические величины: скорость измеряется в м/с, а путь — в метрах. Сверьте обозначение искомой величины и единицу получившегося ответа.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать скорость, время, путь, ускорение и формулу равноускоренного изменения скорости v = v₀ + at. Новая формула позволяет решать задачи о разгоне и торможении автомобилей, поездов и других тел. Позже она понадобится при чтении графиков движения, изучении свободного падения и движения под действием силы.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Скорость изменяется по закону v = v₀ + at.
• Путь определяется формулой s = v₀t + at²/2.
• При движении из состояния покоя s = at²/2.
• Путь зависит от времени не только линейно, но и пропорционально квадрату времени.
• При торможении ускорение имеет знак, противоположный направлению скорости.
• Все величины в расчёте должны быть выражены в согласованных единицах.