§ 8. Свободное падение тел

Определения и обозначения

Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Например, камень после отпускания приближённо падает свободно. Это определение позволяет отделить рассматриваемую модель от движения с опорой, тягой или сопротивлением среды.

Ускорение свободного падения — ускорение, с которым тела движутся при свободном падении; его направление всегда вертикально вниз. Ускорение показывает, как быстро меняется скорость. Поэтому оно помогает определить скорость тела и его положение в любой момент времени.

Ускорение свободного падения g — обозначение модуля ускорения свободного падения; у поверхности Земли принимают g ≈ 9,8 м/с² или 10 м/с². Буква g обозначает именно величину, а не направление. Знак ускорения появляется только после выбора координатной оси.

Модель свободного падения — идеализированное описание движения, в котором учитывается только действие силы тяжести. Идеализация упрощает реальные условия, но сохраняет главное для расчётов. Ею пользуются, когда сопротивление воздуха мало по сравнению с силой тяжести.

Как это устроено

Тела разной массы получают одинаковое ускорение, потому что сила тяжести пропорциональна массе: Fтяж = mg. По второму закону Ньютона ускорение равно отношению силы к массе, поэтому a = Fтяж/m = mg/m = g. Масса сокращается, и в идеальной модели тяжёлый и лёгкий предметы движутся одинаково.

Сила тяжести направлена к центру Земли и вблизи её поверхности считается постоянной по направлению и модулю. Поэтому ускорение тела также постоянно и направлено вертикально вниз. Постоянное ускорение означает, что за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину.

Знак ускорения зависит не от физического направления силы, а от выбранной положительной оси. При оси, направленной вниз, ускорение равно +g; при оси вверх — −g. По той же причине знаки скорости и перемещения показывают, совпадает ли движение с положительным направлением или противоположно ему.

Свободное падение является частным случаем равноускоренного движения. Поэтому используют формулы v = v₀ + at, s = v₀t + at²/2 и y = y₀ + v₀t + at²/2. Для падения без начальной скорости при положительном направлении вниз они превращаются в v = gt, s = gt²/2 и y = y₀ + gt²/2.

В реальности воздух сопротивляется движению и действует против скорости тела. Из-за этого ускорение становится не совсем постоянным, а при достаточно большой скорости может установиться почти постоянная скорость падения. Чем больше площадь тела и меньше его масса, тем заметнее отклонение от модели.

Основные величины при свободном падении

Таблица записана для оси, направленной вниз, и нулевой начальной скорости. Если ось направить вверх, у ускорения и соответствующих слагаемых появятся отрицательные знаки. Перед подстановкой проверьте, что высота задана в метрах, время — в секундах, а g — в м/с².

Разбор задач

1. Падение с высоты 45 м

Тело отпускают без начальной скорости, значит v₀ = 0. Выберем направление вниз и используем связь высоты с перемещением: h = gt²/2.

1. Подставим данные: 45 = 10t²/2.
2. Упростим: 45 = 5t², поэтому t² = 9.
3. Берём положительное значение времени: t = 3 с.

Ответ: тело достигнет земли через 3 с.

2. Камень падает 3 с

Начальная скорость равна нулю, поэтому скорость и путь можно найти двумя формулами для равноускоренного движения. Единицы согласованы: g задано в м/с², а время — в секундах.

1. Скорость: v = gt = 10 · 3 = 30 м/с.
2. Путь: s = gt²/2 = 10 · 3²/2 = 45 м.
3. Направление скорости — вниз, поэтому её модуль равен 30 м/с.

Ответ: скорость камня равна 30 м/с, пройденный путь — 45 м.

3. Бросок вверх с балкона

Выберем ось вверх, начало координат у земли, а начальную точку на высоте 25 м. Тогда y₀ = 25 м, v₀ = 20 м/с, a = −10 м/с², и координата равна y = 25 + 20t − 5t².

1. В момент падения y = 0: 25 + 20t − 5t² = 0.
2. После деления на 5 получаем t² − 4t − 5 = 0, откуда t = 5 с или t = −1 с. Отрицательное значение не подходит.
3. Скорость в этот момент: v = v₀ − gt = 20 − 10 · 5 = −30 м/с.

Ответ: мяч достигнет земли через 5 с, его скорость будет направлена вниз, а модуль скорости составит 30 м/с.

Типичные ошибки

Считать свободным падением любое движение вниз. Так делают, потому что в бытовой речи падение связывают только с направлением движения. Проверьте, действует ли на тело только сила тяжести: наличие натяжения, опоры или заметного сопротивления означает, что модель нужно изменить.

Забывать направление ускорения и знак g. Ошибка возникает, когда формулу записывают до выбора оси. Сначала нарисуйте ось и отметьте вниз, затем определите знак ускорения: вниз совпадает с плюсом или с минусом.

Использовать формулы без начальной скорости или считать скорость постоянной. У тела может быть начальная скорость, например при броске вверх, а сила тяжести постоянно меняет скорость. Проверьте условие и используйте v₀, если тело уже двигалось в начальный момент.

Считать, что более тяжёлое тело падает быстрее в вакууме. Масса действительно увеличивает силу тяжести, но одновременно увеличивает инертность тела. Если сопротивлением воздуха пренебречь, в формуле a = F/m масса сокращается, поэтому ускорение одинаково.

Связь с другими темами

Для свободного падения нужны второй закон Ньютона, понятия силы, ускорения, скорости и координаты, а также формулы равноускоренного движения. Без них трудно правильно выбрать знак и составить уравнение координаты.

Эта тема используется в задачах о вертикальном движении, бросках вверх и вниз и движении тел около поверхности Земли. Одни и те же уравнения позволяют учитывать начальную скорость и высоту.

Свободное падение связано с законом всемирного тяготения: именно притяжение Земли создаёт ускорение g. Идея падения также помогает понять движение планет и состояние невесомости, при котором тело и опора падают с одинаковым ускорением.

Что запомнить

• Свободное падение происходит под действием только силы тяжести.
• Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения направлено вертикально вниз.
• Модуль ускорения свободного падения принимают равным примерно 9,8 м/с² или 10 м/с².
• Ускорение свободного падения не зависит от массы тела в идеальной модели.
• При свободном падении скорость изменяется равномерно.
• Формулы движения определяются выбранным направлением координатной оси и начальной скоростью.
• Сопротивление воздуха может существенно изменить характер падения.