§ 7. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Это означает, что за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. Такое описание позволяет предсказывать скорость и положение тела в любой момент.

Перемещение — направленный отрезок от начального положения тела к конечному. Оно показывает изменение положения, а не длину всего пройденного пути. Если тело развернулось, перемещение может быть направлено противоположно движению на части траектории.

Проекция перемещения — алгебраическая величина, показывающая перемещение вдоль выбранной оси. Её знак зависит от того, куда направлена ось: перемещение по оси имеет положительную проекцию, против оси — отрицательную. Проекции удобны, потому что позволяют записывать движение со знаками в одной формуле.

Начальная скорость v₀ — скорость в начале выбранного промежутка, а ускорение a характеризует изменение скорости со временем. В расчётах вдоль оси используют их проекции v₀ₓ и aₓ, учитывая направления. Именно знаки этих проекций показывают, ускоряется тело или замедляется относительно выбранной оси.

Как это устроено

Ускорение показывает, насколько изменяется скорость за единицу времени. Если оно постоянно, то за время t скорость изменится на aₓt, поэтому конечная скорость равна vₓ = v₀ₓ + aₓt. Зависимость линейная: равным промежуткам времени соответствуют равные изменения скорости. При отрицательном aₓ скорость не обязательно сразу становится отрицательной — сначала она может лишь уменьшаться.

При постоянном ускорении скорость возрастает или убывает равномерно от начального значения до конечного. Поэтому средняя скорость за промежуток равна полусумме этих значений: v_ср = (v₀ₓ + vₓ)/2. Это не просто удобное правило: линейное изменение скорости означает, что её среднее значение находится ровно посередине между начальной и конечной. Перемещение за время t можно найти как произведение средней скорости на время.

Чтобы получить формулу перемещения, подставим закон скорости vₓ = v₀ₓ + aₓt в выражение для средней скорости. Тогда v_ср = v₀ₓ + aₓt/2, а умножение на время даёт sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2. Первое слагаемое описывает перемещение, которое получилось бы при сохранении начальной скорости. Второе учитывает дополнительное смещение из-за ускорения, которое накапливается в течение всего промежутка.

В формуле используются проекции, потому что движение может быть направлено как вдоль оси, так и против неё. Выбор оси задаёт знаки v₀ₓ и aₓ: например, при движении вдоль положительного направления и торможении ускорение будет отрицательным. Если развернуть ось, знаки обеих проекций изменятся, но физическое перемещение останется тем же. Поэтому нельзя подставлять только модули величин, не выяснив их направления.

Если тело начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость равна нулю, и формула становится sₓ = aₓt²/2. Знак результата показывает направление смещения относительно оси, а модуль — расстояние между начальным и конечным положениями. Если тело успело изменить направление, итоговая проекция может быть меньше пройденного пути. Например, движение вперёд, а затем назад может дать малое перемещение при большом пути.

Формулы проекции перемещения при равноускоренном движении

Сначала определите, какой случай описан в задаче, и выберите подходящую строку таблицы. Перед подстановкой проверьте единицы и знаки проекций скорости и ускорения. Для графика складывайте площади с учётом знака, а не просто складывайте их модули.

Разбор задач

Движение из состояния покоя

Тело движется из состояния покоя с ускорением 2 м/с² в течение 5 с. Найдём проекцию перемещения, считая ускорение направленным вдоль положительного направления оси. Начальная проекция скорости равна нулю, поэтому можно применить частную формулу. Подстановка величин в единицах СИ сразу даст результат в метрах.

1. Запишем данные: v₀ₓ = 0, aₓ = 2 м/с², t = 5 с. Так как тело стартует из покоя, начальное слагаемое v₀ₓt равно нулю. Используем формулу sₓ = aₓt²/2.
2. Подставим значения: sₓ = 2 · 5²/2 = 25 м. Квадрат относится ко всему времени, поэтому сначала вычисляем 5², затем умножаем на ускорение и делим на два. Положительный знак означает смещение вдоль выбранной оси.

Ответ: sₓ = 25 м.

Автомобиль с отрицательным ускорением

Автомобиль движется вдоль оси, его начальная скорость v₀ₓ = 12 м/с, а ускорение aₓ = −2 м/с². Требуется найти проекцию перемещения за 4 с и объяснить её знак. Отрицательное ускорение направлено против положительной оси, поэтому скорость автомобиля уменьшается. Подставим обе проекции со знаками, не заменяя ускорение его модулем.

1. Запишем формулу: sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2. Первое слагаемое равно 12 · 4 = 48 м, второе — (−2) · 4²/2 = −16 м. Складывая их, учитываем, что ускорение уменьшает смещение относительно движения с неизменной начальной скоростью.
2. Получаем sₓ = 48 − 16 = 32 м. Результат положителен, значит, за эти 4 с автомобиль сместился вдоль положительной оси. Это согласуется с тем, что начальная скорость была достаточно велика и автомобиль ещё не остановился.

Ответ: sₓ = 32 м, смещение направлено вдоль положительной оси.

Торможение поезда

Поезд движется со скоростью 20 м/с и равномерно тормозит с ускорением −2 м/с². Сначала найдём время до остановки, потому что перемещение нужно вычислить именно за этот промежуток. Остановке соответствует конечная скорость vₓ = 0. Затем подставим найденное время в формулу перемещения и проверим знак ответа.

1. Из закона изменения скорости vₓ = v₀ₓ + aₓt выразим время: t = (vₓ − v₀ₓ)/aₓ. Подставим значения: t = (0 − 20)/(−2) = 10 с. Время получилось положительным, что подтверждает согласованность знаков.
2. Теперь найдём перемещение: sₓ = 20 · 10 + (−2) · 10²/2 = 200 − 100 = 100 м. Поезд всё время торможения движется в положительном направлении, поэтому проекция перемещения положительна. Проверка через среднюю скорость даёт тот же результат: (20 + 0)/2 · 10 = 100 м.

Ответ: поезд остановится через 10 с, его перемещение за это время равно 100 м.

Типичные ошибки

Частая ошибка — подставлять модуль ускорения вместо его проекции. Так поступают, когда видят отрицательный знак и считают его лишним, но при торможении ускорение направлено против скорости. Проверяйте направление ускорения относительно оси и записывайте знак до вычислений: при торможении второй член формулы должен уменьшать проекцию перемещения.

Перемещение иногда принимают за пройденный путь. Это допустимо лишь тогда, когда тело не меняет направление и движется вдоль выбранной оси всё время. Если возможен разворот, определите момент остановки и рассмотрите участки движения отдельно для нахождения пути; знак итогового перемещения сам по себе не показывает длину траектории.

В формуле могут забыть квадрат времени или ошибочно поставить множитель 1/2 перед первым слагаемым. Обычно это происходит из-за смешения с другими формулами или невнимательной записи. Сверьте выражение с видом sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2: только член с ускорением содержит t² и делится на два. По единицам тоже можно проверить себя: оба слагаемых должны измеряться в метрах.

Ещё одна ошибка — подменить начальную скорость скоростью в конце промежутка. В формуле sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 нужна именно скорость в начальный момент, а конечная находится из закона изменения скорости. Чтобы не перепутать обозначения, сначала подпишите состояния «начало» и «конец» и проверьте, что vₓ = v₀ₓ + aₓt связывает их правильно.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужны понятия скорости и ускорения, их проекции и закон изменения скорости при постоянном ускорении. Если эти величины уже известны, перемещение можно вычислить за выбранный промежуток времени. При решении сначала задают ось и только затем записывают проекции.

Формула помогает решать задачи на разгон и торможение, встречу тел и нахождение координаты по начальному положению. Если известна начальная координата, конечную можно получить, прибавив к ней проекцию перемещения. Для встречи тел такой расчёт выполняют для каждого тела и сравнивают координаты.

Связь перемещения с площадью под графиком скорости позволяет находить результат графически. Знак площади показывает направление смещения, поэтому график помогает различать перемещение и путь. Если скорость меняет знак, площади отдельных участков учитывают алгебраически для перемещения.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Проекция перемещения за время t равна sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
• Начальная скорость и ускорение в формуле берутся с учётом выбранного направления оси.
• Если тело начинает движение из состояния покоя, sₓ = aₓt²/2.
• Перемещение — величина со знаком, а путь неотрицателен.
• На графике vₓ(t) проекция перемещения соответствует алгебраической площади под графиком.