"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении показывает, насколько и в какую сторону изменилось положение тела за выбранное время. Эта величина нужна, чтобы рассчитывать движение, например торможение автомобиля или падение предмета, когда скорость меняется. При постоянном ускорении перемещение можно найти по начальной скорости и времени либо по средней скорости. Знак проекции зависит от того, куда направлена выбранная ось.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перемещение — изменение положения тела за некоторый промежуток времени. При прямолинейном движении тело движется вдоль одной линии, поэтому перемещение направлено либо вдоль выбранной оси, либо против неё. Это описание нужно, чтобы отличать изменение положения от длины всего пройденного пути.
Проекция перемещения — величина, которая показывает перемещение вдоль выбранной оси с учётом направления. Если тело смещается туда же, куда направлена ось, проекция положительна; если в противоположную сторону — отрицательна. Проекция помогает записывать движение одной числовой величиной.
Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Ускорение показывает, как быстро меняется скорость, поэтому за равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. В формулах используют проекции величин на ось: например, aₓ для ускорения и vₓ для скорости.
Средняя скорость при равноускоренном движении за выбранный промежуток времени равна полусумме начальной и конечной скоростей. Она показывает, с какой постоянной скоростью тело прошло бы такое же перемещение за то же время. Это позволяет связать перемещение с известными скоростями и длительностью движения.
Ускорение по определению равно изменению скорости, делённому на время: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t. Здесь v₀ₓ — начальная проекция скорости, а vₓ — её значение спустя время t. Умножим равенство на t и выразим конечную скорость: vₓ = v₀ₓ + aₓt. Линейная зависимость возникает потому, что за каждую секунду постоянное ускорение добавляет к скорости одну и ту же величину.
При постоянном ускорении скорость изменяется равномерно: её график от времени представляет собой прямую. Поэтому на любом промежутке среднее значение скорости оказывается посередине между начальной и конечной скоростями. Иначе говоря, рост скорости от начала до конца происходит без скачков и с постоянной скоростью изменения, так что среднее равно полусумме крайних значений. Это верно и для проекций, если их знаки сохранены.
Перемещение за время t равно средней скорости, умноженной на время. Подставляя среднюю проекцию скорости, получаем sₓ = (v₀ₓ + vₓ)t/2. Такая запись удобна, когда известны начальная и конечная скорости, а также длительность движения. Она показывает, что перемещение определяется не только тем, как быстро тело двигалось в начале или в конце, но и временем движения.
Теперь заменим конечную скорость выражением vₓ = v₀ₓ + aₓt. Тогда sₓ = (v₀ₓ + v₀ₓ + aₓt)t/2 = v₀ₓt + aₓt²/2. Слагаемое v₀ₓt описывает перемещение при сохранении начальной скорости, а второе учитывает её изменение из-за ускорения. Квадрат времени появляется потому, что скорость меняется пропорционально времени, а перемещение накапливается за всё это время.
Ось выбирают до вычислений, а затем все направления выражают знаками проекций. Если ускорение направлено вдоль положительного направления оси, aₓ положительно; если против него — отрицательно. При торможении ускорение направлено против скорости, поэтому их проекции имеют противоположные знаки, хотя модуль ускорения остаётся положительным. Формулы учитывают это автоматически, если не заменять проекции модулями.
| Величина или связь | Формула для проекций | Единица СИ |
|---|---|---|
| Начальная скорость | v₀ₓ | м/с |
| Ускорение | aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t | м/с² |
| Скорость через время t | vₓ = v₀ₓ + aₓt | м/с |
| Средняя скорость за время t | vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2 | м/с |
| Проекция перемещения за время t | sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 | м |
Сначала найди, какие величины известны и какую требуется вычислить, затем выбери подходящую строку или связь между строками. Проверяй, что время задано в секундах, скорость — в метрах в секунду, а ускорение — в метрах в секунду за секунду. Отрицательные значения проекций сохраняй в расчётах: знак сообщает направление.
Задача 1. Тело движется прямолинейно с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с². Найти проекцию перемещения за 4 с. Выберем ось по направлению начальной скорости: тогда v₀ₓ = 3 м/с, aₓ = 2 м/с², t = 4 с. Положительное ускорение означает, что скорость растёт вдоль выбранной оси.
Ответ: проекция перемещения равна 28 м. Положительный знак согласуется с выбранным направлением оси.
Задача 2. Автомобиль движется со скоростью 20 м/с и равномерно тормозит с ускорением −4 м/с². Найти перемещение за 3 с. Направим ось по начальной скорости, поэтому v₀ₓ = 20 м/с, а проекция ускорения отрицательна: aₓ = −4 м/с². Это знак торможения, а не отрицательный модуль ускорения.
Ответ: перемещение автомобиля равно 42 м в направлении его начального движения. Отрицательное ускорение уменьшило перемещение по сравнению с движением без торможения.
Задача 3. Тело за 5 с переместилось на 40 м; начальная скорость равна 2 м/с. Найти проекцию ускорения и конечную скорость. Выберем ось по направлению перемещения и начальной скорости, поэтому sₓ = 40 м, v₀ₓ = 2 м/с, t = 5 с. Неизвестное ускорение найдём из формулы перемещения, а затем подставим в закон изменения скорости.
Ответ: aₓ = 2,4 м/с², конечная скорость — 14 м/с. Проверка подтверждает, что найденные величины согласуются с условием.
При торможении иногда подставляют в формулу положительный модуль ускорения вместо его проекции. Так происходит, если слово «ускорение» воспринимать только как величину, хотя ускорение имеет направление. Выбери ось и установи, что при торможении ускорение направлено против скорости; проверь, что знаки их проекций противоположны.
Второе слагаемое порой записывают как aₓt/2, забывая квадрат времени. Ошибка может остаться незаметной, если смотреть только на числа, но единицы выдадут её: ускорение, умноженное на время, имеет единицы скорости, а перемещение должно измеряться в метрах. Перед подстановкой перепиши формулу целиком: sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
Перемещение смешивают с путём, потому что в обычной речи оба слова связывают с движением тела. Однако перемещение — направленная величина, а путь показывает длину траектории; при движении назад проекция перемещения может быть отрицательной, путь остаётся неотрицательным. Проверь, спрашивается ли в задаче изменение положения или длина пройденного участка.
Формулу равноускоренного движения применяют и тогда, когда ускорение меняется, либо подставляют секунды, минуты и километры в час без перевода. Это удобно сделать по привычке, но вывод формулы опирается на постоянство ускорения, а численные вычисления требуют согласованных единиц. Уточни условие о постоянном ускорении и переведи данные в СИ до расчётов.
Чтобы пользоваться формулами перемещения, нужны понятие ускорения и зависимость проекции скорости от времени при равноускоренном движении. Новая связь дополняет описание движения с постоянной скоростью: теперь учитывается изменение скорости. На графике скорости от времени перемещение связано с площадью под графиком, причём знак площади показывает направление проекции.
Формула перемещения помогает решать задачи о тормозном пути, свободном падении и других движениях с постоянным ускорением. В каждом случае нужно выбрать ось и определить знаки начальной скорости и ускорения. Связь между скоростью, ускорением и перемещением позволяет проверять, согласуются ли расчёты с описанием движения.
Почему в формуле перемещения ускорение умножается на квадрат времени?
За время t скорость изменяется на aₓt, потому что ускорение показывает изменение скорости за единицу времени. Средняя добавка к начальной скорости равна половине этого изменения, поэтому вклад ускорения в перемещение равен ½aₓt².
Как определить знак ускорения при торможении?
Сначала выбери ось по направлению движения. При торможении ускорение направлено против скорости, поэтому его проекция имеет знак, противоположный проекции скорости.
Чем перемещение отличается от пройденного пути?
Перемещение показывает изменение положения и учитывает направление, поэтому его проекция может быть отрицательной. Путь — длина всей пройденной траектории; он не бывает отрицательным.
Можно ли применять формулу, если тело меняет направление движения?
Формула применима на промежутке с постоянным ускорением, но при смене направления нужно особенно внимательно учитывать знаки проекций. Если тело сначала движется в одну сторону, а затем в другую, перемещение за весь промежуток может не совпадать с путём.
Как найти перемещение, если известны начальная и конечная скорости?
Если также известно время движения и ускорение постоянно, используй sₓ = (v₀ₓ + vₓ)t/2. Без времени перемещение по одним только начальной и конечной скоростям определить нельзя.
§ 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении
