3. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Определения и обозначения

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. При прямолинейном движении его проекция показывает, насколько и в какую сторону тело сместилось вдоль выбранной оси. Это позволяет описывать движение числами, не теряя информации о направлении.

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением, при котором скорость за равные промежутки времени изменяется одинаково. Ускорение характеризует изменение скорости за единицу времени. Такое описание помогает предсказывать положение тела в любой момент.

Проекция перемещения — перемещение, заданное со знаком относительно выбранного направления оси. Если тело смещается вдоль положительного направления, проекция положительна, а если в противоположную сторону — отрицательна. Знак нужен, чтобы правильно учитывать направление в расчётах.

Формула перемещения связывает проекцию перемещения с начальной скоростью, ускорением и временем: sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2. Здесь v₀ₓ — проекция начальной скорости, aₓ — проекция ускорения, t — время движения. Формула позволяет находить перемещение, даже если скорость в процессе движения меняется.

Как это устроено

При постоянном ускорении за каждую секунду проекция скорости изменяется на одну и ту же величину. Поэтому скорость в момент времени t равна начальной скорости плюс изменение за это время: vₓ = v₀ₓ + aₓt. Знак aₓ показывает, увеличивается или уменьшается проекция скорости, а не обязательно быстрота движения.

Чтобы определить перемещение при изменяющейся скорости, сначала находят среднюю проекцию скорости за промежуток времени. При постоянном ускорении скорость меняется линейно: за равные промежутки её изменение одинаково. Поэтому среднее значение между начальной и конечной скоростями равно их полусумме: vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2.

За время t перемещение равно средней проекции скорости, умноженной на это время: sₓ = vсрₓt. Подставим вместо средней скорости полусумму начальной и конечной, а вместо конечной — v₀ₓ + aₓt. После упрощения получаем sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2: первое слагаемое описывает перемещение, которое было бы при сохранении начальной скорости, а второе учитывает изменение движения из-за ускорения.

Проекции скорости и ускорения могут быть как положительными, так и отрицательными. Если ускорение направлено против выбранной оси, то aₓ < 0, и второе слагаемое формулы имеет отрицательный знак. Например, направленное против скорости ускорение уменьшает модуль скорости, но само ускорение при этом не становится «отрицательным вообще» — отрицательна лишь его проекция относительно выбранной оси.

На графике проекции скорости от времени перемещение можно увидеть как площадь между линией графика и осью времени. При равноускоренном движении график скорости — прямая, поэтому область под ним складывается из прямоугольника и треугольника. Площадь прямоугольника равна v₀ₓt, а площадь треугольника — aₓt²/2 с учётом знака; так геометрически получается та же формула перемещения.

Величины и формулы для перемещения при равноускоренном движении

Сначала определите, какие величины известны, и проверьте, что все значения заданы в согласованных единицах. Если нужно найти перемещение, используйте соответствующую строку таблицы и подставляйте проекции со знаками. Для старта из покоя начальное слагаемое исчезает.

Разбор задач

Задача 1. Тело движется вдоль оси со скоростью 3 м/с, ускорение равно 2 м/с². Найдите проекцию перемещения за 4 с. Направления скорости и ускорения совпадают с положительным направлением оси, поэтому обе проекции положительны.

1. Запишем данные: v₀ₓ = 3 м/с, aₓ = 2 м/с², t = 4 с. Ищем sₓ, поэтому выбираем формулу sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
2. Подставим значения: sₓ = 3 · 4 + 2 · 4²/2 = 12 + 16 = 28 м. Квадрат времени обязателен во втором слагаемом, поскольку ускорение действует на протяжении всего интервала.
3. Проверим единицы: (м/с)·с и (м/с²)·с² дают метры. Ответ положительный, значит, перемещение направлено вдоль оси.

Ответ: sₓ = 28 м.

Задача 2. Тело начинает движение из состояния покоя с ускорением 0,5 м/с². Найдите перемещение за 6 с. Поскольку тело стартует из покоя, начальная скорость равна нулю; ускорение считаем направленным вдоль положительной оси.

1. Запишем данные: v₀ₓ = 0, aₓ = 0,5 м/с², t = 6 с. В общей формуле слагаемое v₀ₓt обращается в ноль, поэтому используем частный случай sₓ = aₓt²/2.
2. Подставим значения: sₓ = 0,5 · 6²/2 = 0,5 · 36/2 = 9 м. Время возводим в квадрат до умножения на ускорение.
3. Единица результата — метр, так как (м/с²)·с² = м. Положительный знак соответствует выбранному направлению ускорения.

Ответ: sₓ = 9 м.

Задача 3. Ось направлена вправо. Тело движется влево со скоростью 8 м/с, а ускорение направлено вправо и равно 2 м/с². Найдите проекцию перемещения за 3 с и определите направление перемещения. Скорость направлена против оси, ускорение — вдоль неё.

1. Назначим проекции с учётом направлений: v₀ₓ = −8 м/с, aₓ = +2 м/с², t = 3 с. Отрицательный знак у скорости не означает, что тело движется «медленно», а указывает направление влево.
2. Подставим в формулу: sₓ = (−8)·3 + 2·3²/2 = −24 + 9 = −15 м. Ускорение уменьшает по модулю перемещение влево, так как направлено вправо.
3. Проверим знак результата: sₓ < 0, следовательно, за эти 3 секунды тело переместилось влево. По единицам оба слагаемых выражаются в метрах.

Ответ: sₓ = −15 м, перемещение направлено влево.

Типичные ошибки

Подставлять модуль скорости вместо проекции — значит забывать о направлении движения. Так поступают, когда считают скорость только положительной величиной. Перед вычислением выберите ось и проверьте: если тело движется против неё, запишите отрицательную проекцию.

Во втором слагаемом иногда забывают возвести время в квадрат и записывают aₓt/2. Ошибка возникает из-за невнимательного переноса формулы или смешения её с другими зависимостями. Проверьте размерность: только aₓt² имеет единицу длины, а aₓt — единицу скорости.

Ускорение ошибочно считают отрицательным просто потому, что тело замедляется. Но знак задаётся направлением ускорения относительно оси, а замедление означает, что ускорение направлено против скорости. Сопоставьте оба вектора с осью отдельно, прежде чем записывать их проекции.

Перемещение путают с путём и ожидают, что ответ всегда будет положительным. Причина в том, что оба понятия связывают с расстоянием, пройденным телом. Проверьте смысл величины: путь неотрицателен, а проекция перемещения может быть отрицательной, если тело сместилось против оси.

Связь с другими темами

Чтобы пользоваться формулой перемещения, нужно знать, что такое скорость и ускорение, уметь находить их проекции и применять формулу перемещения при равномерном движении. Именно эти знания помогают понять, какие величины меняются и как учитывать направление.

Формула пригодится в задачах на разгон и торможение, в том числе когда нужно определить время до остановки или положение тела в этот момент. В таких задачах особенно важно правильно задавать знаки начальной скорости и ускорения.

График скорости связывает формулу с геометрическим способом нахождения перемещения. Позже эта зависимость используется при изучении уравнения координаты и свободного падения: оба сюжета описывают движение с постоянным ускорением.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Проекция скорости меняется по закону vₓ = v₀ₓ + aₓt.
• Проекция перемещения равна sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
• Начальная скорость и ускорение записываются как проекции относительно выбранной оси.
• Если тело стартует из покоя, sₓ = aₓt²/2.
• Перемещение за время равно площади под графиком проекции скорости от времени с учётом знака.