§ 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. За равные промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину, например каждый раз увеличивается на 2 м/с. Это условие позволяет заранее связать скорость и перемещение с временем.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. Оно показывает не всю длину траектории, а результат движения от старта к финишу, поэтому при развороте может оказаться меньше пути. Перемещение нужно, чтобы описать изменение положения тела с учётом направления.

Проекция перемещения — алгебраическая величина, задающая перемещение вдоль выбранной оси. Её обозначают sₓ, а знак определяется тем, совпадает ли направление перемещения с положительным направлением оси. Благодаря проекции векторную задачу можно решать обычными числами.

Средняя скорость при равноускоренном движении — отношение перемещения ко времени: vсрₓ = sₓ/t. Поскольку скорость при постоянном ускорении изменяется равномерно, средняя проекция равна полусумме начальной и конечной: vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2. Это позволяет найти перемещение даже тогда, когда скорость в течение движения меняется.

Как это устроено

Сначала выбирают ось Ox вдоль прямолинейной траектории и задают её положительное направление. Проекция скорости в любой момент выражается формулой vₓ = v₀ₓ + aₓt, потому что за время t постоянное ускорение изменяет скорость на величину aₓt. Знак aₓ показывает, в какую сторону направлено это изменение.

При постоянном ускорении скорость зависит от времени линейно: на графике vₓ от t получается прямая. Поэтому за весь промежуток скорость в среднем равна значению посередине между начальной и конечной. Отсюда vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2, а не просто v₀ₓ или vₓ.

Перемещение равно произведению средней проекции скорости на время: sₓ = vсрₓt. Подставим среднюю скорость и затем конечную скорость: sₓ = (v₀ₓ + v₀ₓ + aₓt)t/2 = v₀ₓt + aₓt²/2. Так получается основная формула перемещения для равноускоренного движения.

Слагаемое v₀ₓt показывает, какое перемещение тело получило бы, если бы продолжало двигаться только с начальной скоростью. Слагаемое aₓt²/2 — добавка, вызванная ускорением, причём она растёт пропорционально квадрату времени. Поэтому при длительном движении вклад ускорения становится особенно заметным.

Знаки нужно выбирать после задания оси, а не ставить по привычке. Если тело движется в положительном направлении, v₀ₓ может быть положительной; при торможении aₓ имеет противоположный знак, то есть aₓ < 0. Тогда скорость уменьшается, а перемещение за время может оставаться положительным, пока тело не остановилось.

Величины и формулы для перемещения при равноускоренном движении

Сначала определите положительное направление оси, затем запишите знаки v₀ₓ и aₓ. После этого выберите строку с нужной формулой и проверьте единицы всех величин. Таблица помогает не смешивать векторные направления с модулями величин.

Разбор задач

Задача 1

Тело движется со скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с² в том же направлении. Найдём проекцию перемещения за 4 с. Выберем ось по движению, поэтому v₀ₓ = 3 м/с и aₓ = 2 м/с².

1. Запишем формулу: sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
2. Подставим данные: sₓ = 3·4 + 2·4²/2 = 12 + 16 = 28 м.
3. Получилось положительное значение, потому что перемещение направлено вдоль выбранной оси.

Ответ: sₓ = 28 м.

Задача 2

Автомобиль движется со скоростью 20 м/с и тормозит с ускорением 4 м/с² в течение 3 с. Ось направим по начальной скорости, поэтому v₀ₓ = 20 м/с, а ускорение противоположно оси: aₓ = −4 м/с².

1. Используем формулу sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
2. Подставим значения: sₓ = 20·3 − 4·3²/2 = 60 − 18 = 42 м.
3. Перемещение положительно: за 3 с автомобиль ещё не успел остановиться, хотя его скорость уменьшалась.

Ответ: sₓ = 42 м.

Задача 3

Тело начинает движение из состояния покоя с ускорением 1,5 м/с² и перемещается на 48 м. Из состояния покоя следует v₀ₓ = 0, поэтому используем сокращённую формулу sₓ = aₓt²/2. Требуется найти время, значит после подстановки придётся решить уравнение относительно t.

1. Запишем: 48 = 1,5t²/2 = 0,75t².
2. Получим t² = 48/0,75 = 64, откуда t = ±8 с.
3. Отрицательное время физического смысла не имеет, поэтому выбираем t = 8 с.

Ответ: тело переместится на 48 м за 8 с.

Типичные ошибки

Подмена перемещения путём. Путь учитывает всю траекторию, а перемещение соединяет только начальное и конечное положения. Если тело изменило направление, сравните длину траектории и расстояние между крайними положениями.

Потеря знака ускорения при торможении. Ускорение часто записывают как положительное число 4 м/с², забывая, что это модуль. Сначала задайте ось и поставьте знак проекции: при оси по скорости торможение даёт aₓ < 0.

Применение формулы при переменном ускорении. Выражение sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 работает только при постоянном ускорении. Проверьте условие задачи: если ускорение меняется, нужна другая модель движения.

Ошибки во времени и множителе 1/2. В первом слагаемом стоит t, а во втором t², причём ускорение умножается на t²/2. Подставляйте слагаемые отдельно и проверяйте, что каждое имеет единицу метра.

Связь с другими темами

Перед изучением нужно знать, что такое скорость и ускорение, как находят их проекции на ось и как записывают изменение скорости при постоянном ускорении. Эти знания объясняют происхождение формулы перемещения и помогают правильно выбирать знаки.

Тема используется в задачах на тормозной путь, где ускорение направлено против скорости. Та же модель применяется к свободному падению и вертикальному броску: меняется выбранная ось и знак ускорения, но принцип расчёта остаётся тем же.

Что запомнить

• Формула проекции перемещения: sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
• Формула применима при постоянном ускорении.
• Знак перемещения определяется выбранным направлением оси.
• Если тело начинает движение из покоя, sₓ = aₓt²/2.
• Перемещение — векторная величина, а путь — скалярная.
• Единица перемещения в СИ — метр.