"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Свободное падение — движение тела под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Оно помогает описывать падение предметов и полёт тела, брошенного вертикально вверх, с помощью формул равноускоренного движения. Ускорение в обоих случаях направлено вниз и у поверхности Земли близко к 9,8 м/с². Зная начальную скорость и положение тела, можно найти его координату, скорость, время подъёма и максимальную высоту.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, если сопротивлением воздуха пренебрегают. В реальности воздух может тормозить предмет, но для тяжёлых тел на небольшом участке это влияние часто считают малым. Такое приближение позволяет применять простые формулы равноускоренного движения.
Ускорение свободного падения — постоянное ускорение тела при свободном падении, направленное вертикально вниз; у поверхности Земли его модуль g ≈ 9,8 м/с². В приближённых расчётах g часто принимают равным 10 м/с². В формулах знак проекции g зависит от того, куда направлена выбранная координатная ось.
Движение тела, брошенного вертикально вверх — прямолинейное равноускоренное движение с начальной скоростью вверх и ускорением вниз. Скорость и ускорение направлены в разные стороны, поэтому тело замедляется. Эта модель помогает найти, где окажется тело и с какой скоростью будет двигаться в любой момент.
Максимальная высота подъёма — наибольшая координата тела при вертикальном броске вверх, достигаемая в момент, когда его скорость становится равной нулю. Если отсчёт высоты ведут от точки броска, эту величину обозначают h. Она нужна, чтобы определить верхнюю точку траектории, не прослеживая движение по секундам.
Свободное падение происходит под действием силы тяжести, которая у поверхности Земли практически постоянна по величине и направлению. По второму закону Ньютона постоянная сила сообщает телу постоянное ускорение, поэтому движение считается равноускоренным. При отсутствии сопротивления воздуха это ускорение одинаково для тел разной массы. Оно направлено вниз, даже если тело в данный момент движется вверх: направление ускорения задаёт сила, а не направление скорости.
Чтобы записать движение, выбирают координатную ось и её положительное направление. Если ось y направить вверх, то координата тела выше начала отсчёта положительна, скорость при движении вверх положительна, а ускорение свободного падения имеет проекцию −g. При выборе оси вниз знак проекции ускорения станет положительным. Поэтому знак в уравнении — не отдельное свойство движения, а результат выбранного способа отсчёта.
Общие уравнения равноускоренного движения имеют вид v = v₀ + at и y = y₀ + v₀t + at²/2. При оси вверх подстановка a = −g даёт v = v₀ − gt и y = y₀ + v₀t − gt²/2. Для падения из покоя v₀ = 0, а для падения с начальной скоростью вниз начальная проекция скорости отрицательна. Так одни и те же уравнения описывают разные начальные условия.
При броске вверх начальная скорость положительна, а ускорение отрицательно, поэтому скорость с каждой секундой уменьшается. В верхней точке тело на мгновение перестаёт подниматься, и его мгновенная скорость равна нулю. Но сила тяжести продолжает действовать, значит ускорение остаётся направленным вниз; сразу после верхней точки скорость становится отрицательной. При падении модуль скорости увеличивается, потому что скорость и ускорение направлены одинаково.
Для верхней точки подставляют v = 0 в уравнение скорости: время подъёма равно tпод = v₀/g. Подстановка этого времени в уравнение координаты даёт максимальную высоту над местом броска h = v₀²/(2g). Без сопротивления воздуха при возвращении на исходный уровень тело проходит такой же путь вниз за то же время, за которое поднялось. Скорость при этом противоположна начальной по направлению, но равна ей по модулю.
В таблице используется ось y, направленная вверх, и обозначение y₀ для начальной координаты. В строках с броском вверх начальная скорость v₀ положительна; при падении вниз её проекция отрицательна. Чтобы решить задачу, выберите подходящую строку и подставьте в формулы свои начальные данные.
| Ситуация | Начальная скорость | Ускорение | Зависимость скорости от времени | Зависимость координаты от времени | Особенность движения |
|---|---|---|---|---|---|
| Свободное падение из состояния покоя | v₀ = 0 | aᵧ = −g | v = −gt | y = y₀ − gt²/2 | Скорость направлена вниз и растёт по модулю. |
| Свободное падение с начальной скоростью вниз | v₀ < 0 | aᵧ = −g | v = v₀ − gt | y = y₀ + v₀t − gt²/2 | Начальная скорость и ускорение направлены вниз. |
| Движение тела, брошенного вертикально вверх при подъёме | v₀ > 0 | aᵧ = −g | v = v₀ − gt > 0 | y = y₀ + v₀t − gt²/2 | Скорость вверх уменьшается по модулю. |
| Верхняя точка траектории | Начальная для всего движения v₀ > 0 | aᵧ = −g | v = 0 при t = v₀/g | y = y₀ + v₀²/(2g) | Скорость равна нулю только мгновенно. |
| Движение после прохождения верхней точки | Для этого участка v < 0 | aᵧ = −g | v = v₀ − gt < 0 | y = y₀ + v₀t − gt²/2 | Тело падает, модуль скорости увеличивается. |
| Возвращение на исходный уровень | В момент возвращения v = −v₀ | aᵧ = −g | По модулю скорость равна v₀ | y = y₀ | Перемещение равно нулю, скорость направлена вниз. |
Условие. Камень свободно падает с высоты 45 м. Найти время падения и скорость перед ударом о землю, принять g = 10 м/с². Направим ось вниз и будем считать точку броска началом отсчёта, поэтому пройденное вниз расстояние положительно. Камень начинает падать без начальной скорости.
Ответ: время падения — 3 с, скорость перед ударом — 30 м/с вниз. Знак скорости при выбранной оси положительный, а направление указано словами. Проверка: за 3 с тело успевает пройти 45 м при ускорении 10 м/с².
Условие. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найти максимальную высоту подъёма и время возвращения на исходный уровень; g = 10 м/с². Выберем ось вверх и начнём отсчёт высоты в точке броска. В верхней точке скорость равна нулю, а ускорение равно −g.
Ответ: максимальная высота — 20 м, время возвращения — 4 с. В верхней точке скорость обнуляется только на мгновение, после чего мяч начинает двигаться вниз. Результат по времени можно проверить также из условия y = 0: кроме t = 0, решение даёт t = 4 с.
Условие. Тело брошено вертикально вверх с неизвестной скоростью и через 3 с оказалось на высоте 15 м над точкой броска. Найти возможные значения начальной скорости и выяснить, поднималось тело или уже падало. Примем g = 10 м/с², выберем ось вверх и положим y₀ = 0. Одной высоте могут соответствовать два момента: до верхней точки и после неё.
Ответ: начальная скорость равна 20 м/с; через 3 с тело уже падало. При данных задачи возможной оказывается одна начальная скорость, а два пересечения высоты возникают в разные моменты времени одного движения. Проверка знаком скорости позволяет определить, на какой ветви траектории находится тело.
Первая ошибка — считать ускорение положительным только потому, что тело движется вверх. Так путают направление скорости с направлением ускорения, которое задаётся силой тяжести. При оси вверх проекция ускорения равна −g и во время подъёма, и во время падения. Проверьте себя: нарисуйте ось и стрелку ускорения вниз, а затем определите её знак.
Вторая ошибка — применять формулу падения из покоя к телу, которому сообщили начальную скорость. Её допускают, когда не различают специальные формулы и общие уравнения движения. В общем случае нужно учитывать v₀: например, y = y₀ + v₀t − gt²/2 при оси вверх. Проверьте условие задачи: если тело уже двигалось в начальный момент, значение v₀ нельзя опускать.
Третья ошибка — полагать, что в верхней точке ускорение равно нулю. Скорость там на мгновение равна нулю, и эти две величины ошибочно принимают за одно и то же. Сила тяжести продолжает действовать, значит ускорение остаётся равным g по модулю и направлено вниз. Проверка проста: если ускорение исчезло бы, тело не начало бы падать сразу после остановки.
Четвёртая ошибка — путать высоту подъёма с полным путём. При возвращении на исходный уровень перемещение равно нулю, потому что конечная и начальная координаты совпадают, но путь не равен нулю. За весь полёт без сопротивления тело проходит вверх и вниз по высоте h, то есть путь равен 2h. Проверьте, что именно требуется найти: координатное перемещение или длину всей траектории.
Для решения задач нужны координатный способ описания движения, определения скорости и ускорения, а также формулы равноускоренного движения. Причину ускорения объясняет сила тяжести вместе со вторым законом Ньютона: сила сообщает телу ускорение. Эти знания пригодятся дальше при изучении движения тела, брошенного под углом к горизонту, и движения спутников. Тот же анализ высоты и скорости помогает решать задачи на механическую энергию.
График показывает, как меняются координаты при броске вверх и свободном падении с высоты.
Почему тело в верхней точке не находится в состоянии невесомости?
В верхней точке на мгновение равна нулю скорость тела, но сила тяжести продолжает действовать. Невесомость связана с отсутствием силы реакции опоры или натяжения подвеса, а не с нулевой скоростью.
Как правильно выбрать направление координатной оси?
Выбирайте ось так, чтобы движение было удобно описывать, и придерживайтесь выбора во всех формулах. Например, если ось направлена вверх, координата и скорость при подъёме положительны, а ускорение свободного падения отрицательно.
Можно ли считать ускорение свободного падения отрицательным?
Знак ускорения зависит от направления положительной оси: при оси вверх проекция ускорения равна −g, а при оси вниз — +g. Само ускорение направлено вниз, а его модуль g положителен.
Почему время подъёма равно времени падения до исходной высоты?
Без сопротивления воздуха движение симметрично: при подъёме скорость уменьшается от v₀ до нуля, а при падении до исходного уровня увеличивается по модулю от нуля до v₀. Поэтому оба промежутка времени равны v₀/g.
Что изменится в расчётах, если учитывать сопротивление воздуха?
На тело будет действовать дополнительная сила, направленная против его скорости, поэтому ускорение уже не будет постоянно равным g. Уравнения свободного падения в таком случае не подходят напрямую, а скорость при возвращении обычно окажется меньше начальной по модулю.
§ 7. Свободное падение и движение тела, брошенного вертикально вверх
