"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Свободное падение и вертикальный бросок — примеры равноускоренного движения под действием силы тяжести. Такая модель помогает рассчитывать время движения, скорость и высоту тела, если сопротивлением воздуха можно пренебречь. Главное — помнить, что ускорение всегда направлено вниз, а его знак в формулах зависит от выбранной оси. Поэтому тело при подъёме замедляется, а после остановки в высшей точке начинает падать.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести; вблизи поверхности Земли ускорение направлено вертикально вниз и по модулю равно g. В реальности на тело может действовать воздух, но в модели его влиянием пренебрегают. Такое описание позволяет изучать падение как простое равноускоренное движение.
Ускорение свободного падения g — ускорение тела при свободном падении; у поверхности Земли g ≈ 9,8 м/с². В задачах для упрощения вычислений часто используют g ≈ 10 м/с². Эта величина задаёт, насколько меняется скорость тела за секунду.
Движение тела, брошенного вертикально вверх, — движение с начальной скоростью вверх и постоянным ускорением свободного падения вниз. Обозначим начальную скорость через v₀, координату тела через y, а время после броска через t. Эти обозначения позволяют записать скорость и положение тела в любой момент движения.
В строгой модели свободного падения на тело действует только сила тяжести. Сопротивление воздуха не учитывают, когда оно мало по сравнению с тяжестью или когда нужно выделить закономерности самого движения. Тогда результирующая сила постоянна, а значит, по второму закону Ньютона постоянно и ускорение. Вблизи поверхности Земли его модуль примерно равен g.
Знак ускорения зависит не от того, куда движется тело, а от того, куда направлена выбранная ось. Если положительное направление оси y выбрано вверх, вектор ускорения направлен против оси, поэтому его проекция равна −g. При такой же оси скорость поднимающегося тела положительна, а падающего — отрицательна. Благодаря этому знаки в формулах показывают направление движения.
Постоянное ускорение означает, что скорость за равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину. Для оси вверх проекция скорости равна v = v₀ − gt: с течением времени она уменьшается на gt. Закон координаты получается из уравнения равноускоренного движения: y = y₀ + v₀t − gt²/2. Начальная координата y₀ задаёт положение тела в момент t = 0.
При броске вверх сила тяжести направлена против скорости, поэтому тело замедляется. В наивысшей точке скорость на мгновение становится равной нулю: подъём заканчивается, и начинается падение. Но сила тяжести в этот момент никуда не исчезает, поэтому ускорение остаётся направленным вниз. После вершины скорость меняет знак и тело движется вниз всё быстрее.
Если тело возвращается точно на высоту броска, его координата в начале и в конце одинакова. Подстановка этого условия в закон координаты даёт ненулевое время t = 2v₀/g: половина приходится на подъём, половина — на падение. В идеальной модели ускорение одинаково на всём пути, поэтому движение симметрично по времени. При возвращении скорость равна −v₀: её модуль прежний, но направление противоположно.
Для броска вверх при g = 10 м/с² координата меняется по закону y = 20t − 5t². График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, потому что коэффициент при t² отрицательный. Вершина графика показывает наибольшую координату тела; здесь время подъёма равно 2 с, а координата — 20 м. Затем координата убывает, пока тело не вернётся к исходному уровню.
| Характеристика | Свободное падение из состояния покоя | Бросок вертикально вверх |
|---|---|---|
| Начальная скорость | v₀ = 0 | v₀ > 0 |
| Ускорение | a = −g | a = −g |
| Закон изменения скорости | v = −gt | v = v₀ − gt |
| Закон изменения координаты | y = y₀ − gt²/2 | y = y₀ + v₀t − gt²/2 |
| Скорость в наивысшей точке | Наивысшей точки подъёма нет | v = 0 |
| Направление движения и изменение модуля скорости | Вниз; модуль скорости увеличивается | Сначала вверх, модуль скорости уменьшается; затем вниз, модуль увеличивается |
В таблице все величины записаны для оси, направленной вверх, поэтому ускорение в обоих случаях имеет проекцию −g. Найди столбец, соответствующий ситуации, и подставляй в формулы известные начальные данные. Если выбрать ось вниз, знаки проекций изменятся, но физическое движение останется тем же.
Направим ось вверх, а землю примем за уровень y = 0. Камень отпускают без начальной скорости, поэтому y₀ = 45 м, v₀ = 0 и a = −g. Возьмём g = 10 м/с² для удобства.
Запишем координату: y = 45 − 5t². Перед ударом о землю y = 0, поэтому 45 − 5t² = 0, откуда t² = 9. Физически подходит положительное время t = 3 с.
Найдём скорость в этот момент по формуле v = v₀ − gt: v = −10 · 3 = −30 м/с. Минус означает, что камень движется вниз.
Ответ: время падения — 3 с, скорость перед ударом — 30 м/с вниз.
Выберем ось вверх и возьмём точку броска за начало координат: y₀ = 0. Начальная скорость v₀ = 20 м/с, ускорение a = −g; для вычислений положим g = 10 м/с². В высшей точке скорость равна нулю.
Используем уравнение скорости 0 = 20 − 10t. Отсюда время подъёма t = 2 с. Это момент, когда мяч достигает вершины траектории.
Подставим время в закон координаты: y = 20 · 2 − 5 · 2² = 40 − 20 = 20 м. Полученная координата отсчитывается именно от точки броска.
Ответ: время подъёма — 2 с, максимальная высота относительно точки броска — 20 м.
Направим ось вверх, землю примем за y = 0. Тогда y₀ = 15 м, v₀ = 20 м/с и a = −10 м/с². Условие удара о землю задаётся координатой y = 0.
Составим уравнение координаты: 0 = 15 + 20t − 5t², или t² − 4t − 3 = 0. Корни равны t = 2 ± √7. Корень 2 − √7 отрицателен, поэтому он описывает момент до броска; подходит t = 2 + √7 ≈ 4,65 с.
Найдём скорость перед ударом: v = 20 − 10 · 4,65 ≈ −26,5 м/с. Отрицательный знак показывает, что тело движется вниз; скорость по модулю составляет примерно 26,5 м/с.
Ответ: тело упадёт примерно через 4,65 с после броска; скорость перед ударом — около 26,5 м/с вниз.
Считать ускорение направленным вверх при подъёме — значит путать направление скорости с направлением ускорения. Так ошибаются, потому что тело движется вверх и кажется, будто все характеристики движения должны быть направлены туда же. Проверь себя: сила тяжести всегда направлена вниз, поэтому при оси вверх a = −g и во время подъёма скорость уменьшается.
Подставлять g со знаком минус, не учитывая выбранную ось, — значит смешивать модуль ускорения и его проекцию. Знак «минус» появляется не в самой величине g, а при записи проекции ускорения на ось, направленную вверх. Перед вычислениями нарисуй ось и укажи направления; если ось направлена вниз, проекция ускорения будет положительной.
Приравнивать ускорение к нулю в наивысшей точке — значит считать, что остановка тела прекращает действие силы тяжести. В этот момент равна нулю только скорость, а ускорение остаётся направленным вниз и равным g по модулю. Проверь ответ по действующим силам: если на тело продолжает действовать тяжесть, его скорость должна начать меняться.
Считать, что тело возвращается на исходную высоту с той же скоростью по направлению, — значит не различать скорость и её модуль. При подъёме скорость направлена вверх, а при возвращении вниз; одинаковым в идеальной модели оказывается только модуль. Проверь знак скорости по выбранной оси: для оси вверх начальная скорость положительна, а конечная отрицательна.
Для изучения вертикального движения нужны понятия координаты, перемещения, скорости и ускорения, а также уравнения равноускоренного движения. Сначала эти величины учатся описывать с помощью оси и знаков, а затем применяют к конкретному движению под действием тяжести. Тема служит основой для разбора движения тела, брошенного под углом к горизонту: его вертикальную составляющую рассматривают по тем же правилам. Она также помогает перейти к закону сохранения механической энергии и связывать высоту тела с его скоростью.
Почему тело в наивысшей точке продолжает ускоряться вниз?
В высшей точке на мгновение равна нулю только скорость: тело перестаёт подниматься и начинает опускаться. Сила тяжести продолжает действовать, поэтому ускорение направлено вниз и равно g по модулю.
Как выбрать знаки скорости и ускорения в формулах?
Сначала выбери положительное направление оси и придерживайся его во всех вычислениях. Если ось направлена вверх, скорость при подъёме положительна, а ускорение равно −g; при движении вниз скорость отрицательна.
Как найти максимальную высоту подъёма тела?
В высшей точке вертикальная скорость равна нулю. Подставь v = 0 в уравнение v = v₀ − gt и найди время подъёма, затем вычисли координату по формуле y = y₀ + v₀t − gt²/2.
Почему время подъёма равно времени падения до исходной высоты?
При отсутствии сопротивления воздуха движение симметрично относительно высшей точки: ускорение постоянно и направлено вниз на всём пути. Поэтому от исходной высоты до вершины тело поднимается столько же времени, сколько затем падает обратно.
Как определить, какой корень уравнения времени соответствует реальному движению?
Оставь корень, который описывает момент после начала движения и соответствует выбранному событию, например удару о землю. Если начальный момент уже задан как t = 0, отрицательный корень обычно относится к математическому продолжению движения в прошлое.
§ 7. Свободное падение и движение тела, брошенного вертикально вверх
