3. Соотношение между путём и скоростью

Определения и обозначения

Путь — длина траектории, пройденной телом за рассматриваемый промежуток времени; обозначается s. Траектория — линия, по которой движется тело, поэтому путь учитывает весь пройденный маршрут. Эта величина помогает узнать, какое расстояние тело фактически преодолело, даже если оно меняло направление.

Скорость — физическая величина, показывающая, какой путь тело проходит за единицу времени; обозначается v. Чем больше путь за одинаковое время, тем выше скорость движения. Скорость позволяет сравнивать движения тел и рассчитывать путь или время, если известны остальные величины.

Средняя скорость — отношение всего пройденного пути ко всему времени движения. Она описывает движение за выбранный промежуток целиком, даже если на разных частях маршрута тело двигалось с разной скоростью. Эта величина нужна, когда требуется оценить весь маршрут одним числом.

Равномерное прямолинейное движение — движение по прямой, при котором за равные промежутки времени тело проходит равные пути. Значит, скорость такого тела не меняется ни по величине, ни по направлению. Это простая модель, на которой удобно изучать связь пути, скорости и времени.

Как это устроено

Для равномерного движения скорость находят, разделив пройденный путь на время: v = s/t. Такой способ следует из смысла скорости: он показывает, какая доля пути приходится на каждую единицу времени. Например, если тело проходит 24 м за 6 с, то за секунду оно проходит 4 м, а его скорость равна 4 м/с.

Из формулы v = s/t можно получить соотношения s = vt и t = s/v. Чтобы найти путь, обе части исходной зависимости умножают на время; чтобы найти время, путь делят на скорость. Выбирайте формулу по неизвестной величине и проверяйте, что другие две величины известны.

При неизменной скорости путь прямо пропорционален времени. Это значит, что за каждый дополнительный одинаковый промежуток времени тело проходит одинаковый дополнительный путь. Поэтому, если время движения увеличить, например, в три раза, путь тоже увеличится в три раза — при условии, что скорость не изменилась.

При неравномерном движении скорость в ходе маршрута меняется, поэтому одной величиной для описания всего движения служит средняя скорость. Её находят, разделив полный путь на полное время: vср = sобщ/tобщ. Среднее значение показывает общий результат, но не сообщает, на каких участках тело ускорялось, замедлялось или останавливалось.

Вычисления верны только при согласованных единицах. Например, если скорость задана в метрах в секунду, время следует выразить в секундах, тогда произведение скорости на время даст путь в метрах. Если единицы разные, сначала переведите одну из величин: иначе числа в формуле будут относиться к разным мерам и ответ окажется неверным.

Соотношения между путём, скоростью и временем

В таблице собраны три формулы, полученные из связи пути, скорости и времени. Сначала определите, какую величину требуется найти, затем выберите соответствующую строку. Убедитесь, что единицы скорости и времени согласованы с единицами, в которых нужен путь.

Разбор задач

Путь автомобиля

Автомобиль движется равномерно со скоростью 15 м/с в течение 20 с. Найдём пройденный путь. Скорость и время уже заданы в согласованных единицах, поэтому переводы не требуются.

1. Искомая величина — путь, значит, выбираем формулу s = vt.
2. Подставляем данные: s = 15 м/с · 20 с = 300 м. Секунды сокращаются, поэтому результат выражен в метрах.
3. Ответ: автомобиль прошёл 300 м.

Средняя скорость пешехода

Пешеход прошёл 3 км за 40 мин. Требуется найти среднюю скорость в км/ч. Поскольку путь дан в километрах, удобно перевести время в часы, а затем разделить весь путь на всё время.

1. Переводим минуты в часы: 40 мин = 40/60 ч = 2/3 ч.
2. Используем формулу средней скорости: vср = s/t = 3 км / (2/3 ч) = 4,5 км/ч. Деление на 2/3 равносильно умножению на 3/2.
3. Ответ: средняя скорость пешехода равна 4,5 км/ч.

Встреча велосипедистов

Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 30 км. Их скорости равны 12 км/ч и 18 км/ч. Чтобы найти время до встречи, сначала определим, как быстро сокращается расстояние между ними.

1. При движении навстречу друг другу скорости сближения складываются: vсбл = 12 + 18 = 30 км/ч.
2. Расстояние между велосипедистами уменьшается на 30 км за каждый час. Время до встречи равно расстоянию, делённому на скорость сближения: t = 30 км / 30 км/ч = 1 ч.
3. Ответ: велосипедисты встретятся через 1 час.

Типичные ошибки

Нельзя подставлять путь в километрах, а скорость в метрах в секунду без перевода единиц. Так, километры и метры оказываются смешаны, и результат не имеет согласованного смысла. Перед вычислением проверьте, какие единицы должны получиться; например, для пути в метрах используйте скорость в м/с и время в секундах.

Среднюю скорость иногда ошибочно находят как среднее арифметическое скоростей на участках. Это неверно, если на участках тело провело разное время или прошло разные расстояния: скорости не имеют одинакового «веса». Для проверки складывайте весь путь и делите его на всё время движения.

Формулу s = vt нельзя применять к неравномерному движению, подставляя вместо средней скорости значение с одного участка. Причина ошибки — привычка считать скорость постоянной, хотя она могла меняться на маршруте. Уточните, что означает данная скорость; для всего промежутка используйте среднюю скорость.

Путь и перемещение — разные величины, поэтому путь не может быть отрицательным и зависит от всей траектории движения. Их путают, когда рассматривают только начальное и конечное положения тела. Проверьте, возвращалось ли тело или меняло направление: путь суммирует участки маршрута, а перемещение учитывает только изменение положения с направлением.

Связь с другими темами

Для работы с формулами пути, скорости и времени нужно знать единицы длины и времени, уметь переводить их и понимать отношение величин. Например, из отношения пути к времени получают скорость, а умножение скорости на время возвращает путь. Эти навыки помогают проверять расчёты и размерность ответа.

Соотношение пути и скорости пригодится при изучении графиков движения и равноускоренного движения. На графиках оно помогает связывать изменения пути со временем, а в задачах на встречу и догонку — находить скорость сближения и время события. Новые темы усложняют описание движения, но опираются на эти базовые зависимости.

Что запомнить

• Для равномерного движения s = vt.
• Скорость равна отношению пути ко времени: v = s/t.
• Время движения можно найти по формуле t = s/v.
• Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время.
• Перед вычислениями нужно согласовать единицы пути, скорости и времени.
• Путь и перемещение — разные физические величины.