"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Соотношение между путём и скоростью позволяет решать задачи о равноускоренном движении, когда время неизвестно или его не нужно находить. Главная формула связывает начальную и конечную скорости, ускорение и пройденный путь: v² − v₀² = 2as. По ней можно определить путь при разгоне или торможении, конечную скорость автомобиля и ускорение тела, не вычисляя продолжительность движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Путь — длина участка траектории, пройденного телом; его обозначают буквой s и измеряют в метрах. Например, путь автомобиля — это расстояние, которое он прошёл по дороге. В задачах путь показывает, на каком участке изменялась скорость.
Скорость — физическая величина, характеризующая быстроту движения. Начальную скорость обозначают v₀, а конечную — v. Сравнивая эти значения, можно понять, разгонялось тело, тормозило или двигалось без изменения скорости.
Ускорение показывает, на сколько изменяется скорость за единицу времени; оно обозначается a и измеряется в м/с². Например, ускорение 2 м/с² означает, что за каждую секунду скорость увеличивается на 2 м/с. Знак ускорения помогает учитывать его направление.
Равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением, при котором скорость изменяется на одинаковую величину за равные промежутки времени. Ускорение при этом может быть положительным или отрицательным. Именно для такого движения справедливо соотношение между путём и скоростями.
Обычно путь и скорость при равноускоренном движении выражают через время: v = v₀ + at и s = v₀t + at²/2. Однако время иногда неизвестно, а находить его отдельно неудобно. Если выразить t из первого уравнения и подставить во второе, время исчезнет, и останется прямая связь пути со скоростями и ускорением.
После такого преобразования получают v² − v₀² = 2as. Здесь v² − v₀² показывает, насколько изменился квадрат скорости, а произведение 2as связывает это изменение с ускорением и пройденным путём. Формула применима, когда ускорение постоянно и все величины рассматриваются вдоль выбранного направления.
Если тело начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость равна нулю: v₀ = 0. Тогда слагаемое v₀² исчезает, и получается v² = 2as. Из этой записи скорость можно найти как v = √(2as), если движение происходит в выбранном положительном направлении.
Направление учитывают знаками величин. При разгоне в положительном направлении ускорение положительно, а при торможении оно направлено противоположно скорости и имеет отрицательный знак. Например, при a < 0 скорость уменьшается, но путь до остановки всё равно получают положительным, потому что отрицательные знаки сокращаются в уравнении.
Соотношение удобно перестраивать под неизвестную величину. Путь находят по формуле s = (v² − v₀²)/(2a), конечную скорость — из v = √(v₀² + 2as), а ускорение — по формуле a = (v² − v₀²)/(2s). Перед вычислениями нужно определить направление и привести единицы к СИ.
| Случай движения | Соотношение | Что можно определить |
|---|---|---|
| Произвольная начальная скорость | v² − v₀² = 2as | s, v или a |
| Движение из состояния покоя | v² = 2as | v, s или a |
| Равноускоренный разгон | v² = v₀² + 2as, a > 0 | конечную скорость или путь |
| Равнозамедленное движение | v² = v₀² + 2as, a < 0 | скорость после участка пути |
| Торможение до остановки | 0 − v₀² = 2as | тормозной путь s = −v₀²/(2a) |
Сначала определите, известна ли начальная скорость и остановилось ли тело. Затем выберите строку таблицы и выразите величину, которую требуется найти. После подстановки проверьте единицы измерения и знак полученного результата.
Автомобиль начинает движение из состояния покоя: v₀ = 0, ускорение a = 2 м/с², путь s = 25 м. Требуется найти конечную скорость. Время движения неизвестно, поэтому использовать формулу с ним необязательно.
Ответ: скорость автомобиля равна 10 м/с.
Тело имело скорость v₀ = 5 м/с, затем двигалось с ускорением a = 1,5 м/с² и прошло s = 40 м. Нужно найти конечную скорость. Начальная скорость не равна нулю, поэтому слагаемое v₀² сохраняется.
Ответ: конечная скорость примерно равна 12 м/с.
Автомобиль движется со скоростью v₀ = 20 м/с и тормозит с ускорением a = −4 м/с². Требуется найти путь до остановки и проверить, хватит ли участка длиной 45 м. Для остановки конечная скорость равна v = 0.
Ответ: тормозной путь равен 50 м; на участке длиной 45 м автомобиль остановиться не успеет.
Формулу v² = 2as используют при ненулевой начальной скорости. Так происходит, когда забывают, что она выведена только для v₀ = 0. Проверьте условие: если тело уже двигалось, применяйте v² − v₀² = 2as.
Скорость подставляют без возведения в квадрат. Ошибка возникает из-за привычки воспринимать зависимость как линейную. Перед вычислением выпишите всю формулу и отдельно посчитайте v² и v₀².
При торможении не учитывают знак ускорения. Тогда получается отрицательный путь или тело будто бы разгоняется. Выберите положительное направление движения и запишите ускорение торможения со знаком минус.
Смешивают единицы измерения: например, берут скорость в км/ч, путь в метрах, а ускорение в м/с². Такой расчёт нарушает согласованность единиц. Переведите скорость в м/с, разделив её значение на 3,6.
Для применения формулы нужны уравнения скорости и пути при равноускоренном движении, а также навыки работы с квадратными корнями и единицами СИ. Это соотношение особенно полезно при расчёте тормозного пути автомобилей, разгоне, свободном падении и других движениях, где время неизвестно. Позже оно поможет анализировать графики движения и решать более сложные задачи механики.
Почему в формуле скорость возводится в квадрат?
При выводе формулы время исключают из двух уравнений равноускоренного движения. Из-за этого скорость, которая сначала умножается на время, появляется в виде квадрата. Квадрат также позволяет связать изменение скорости с пройденным путём.
Можно ли использовать это соотношение при ненулевой начальной скорости?
Да, это основной общий случай: v² − v₀² = 2as. Формула v² = 2as подходит только тогда, когда тело начинает движение из состояния покоя и v₀ = 0.
Почему при торможении ускорение берут со знаком минус?
При выбранном положительном направлении скорость направлена вперёд, а ускорение при торможении — в противоположную сторону. Поэтому проекция ускорения отрицательна: a < 0. Это показывает, что скорость уменьшается.
Как найти тормозной путь по начальной скорости и ускорению?
В формуле v² − v₀² = 2as для полной остановки подставляют v = 0. Получается s = −v₀²/(2a), если ускорение отрицательно. Результат должен быть положительным.
Что делать, если в задаче скорость дана в километрах в час?
Скорость нужно перевести в метры в секунду: значение в км/ч разделить на 3,6. Например, 72 км/ч = 20 м/с. Только после этого можно подставлять величину в формулу вместе с метрами и м/с².
4. Соотношение между путём и скоростью
