3. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью

Определения и обозначения

Перемещение — векторная величина, равная изменению координаты тела. Его обозначают s или Δx и измеряют в метрах; знак показывает направление относительно выбранной оси. Перемещение нужно, чтобы определить не длину всей траектории, а изменение положения тела.

Равноускоренное движение — движение, при котором ускорение постоянно по модулю и направлению. Поэтому скорость за равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Это позволяет описывать движение точными формулами.

Начальная скорость — скорость тела в момент начала отсчёта времени, её обозначают v₀. Она может быть положительной или отрицательной: знак зависит от выбранного направления оси. Начальная скорость показывает, с какого состояния начинается движение.

Ускорение a характеризует изменение скорости за единицу времени и измеряется в м/с². Если ускорение направлено так же, как положительная ось, его значение положительно, а при противоположном направлении — отрицательно. Благодаря ускорению тело может разгоняться, замедляться или менять направление движения.

Как это устроено

При постоянном ускорении за время t скорость изменяется на величину at. Поэтому из начального значения v₀ получается закон v = v₀ + at. Скорость зависит от времени линейно: при положительном ускорении она возрастает, а при отрицательном — убывает.

Средняя скорость при постоянном ускорении равна полусумме начальной и конечной скоростей: v̄ = (v₀ + v)⁄2. Причина в том, что скорость меняется равномерно, без скачков, и её график от времени является прямой. Значения в начале и конце промежутка одинаково определяют средний уровень скорости.

Перемещение при равномерном движении вычисляют как произведение средней скорости на время: s = v̄t. Подставим среднюю скорость и закон конечной скорости: s = ((v₀ + v₀ + at)⁄2)t. После упрощения получаем основную формулу: s = v₀t + at²⁄2.

Формула содержит два вклада в перемещение. Слагаемое v₀t показывает, какое перемещение тело получило бы, сохраняя начальную скорость без ускорения. Слагаемое at²⁄2 показывает дополнительное изменение положения, вызванное ускорением.

Сначала выбирают положительное направление оси, а затем приписывают знаки всем величинам. Если тело перемещается против положительного направления, s получается отрицательным; это не ошибка, а указание направления. Ускорение тоже может быть отрицательным, например при торможении автомобиля, который движется в положительном направлении.

Величины и формулы при равноускоренном движении с начальной скоростью

Таблица помогает выбрать нужную формулу и проверить обозначения величин. Перед подстановкой проверьте, что время выражено в секундах, скорость — в метрах в секунду, а ускорение — в метрах в секунду за секунду. Знак каждой величины определяется выбранным направлением оси.

Разбор задач

Задача 1

Тело начинает движение со скоростью 3 м/с и движется с ускорением 2 м/с² в течение 5 с. Нужно найти перемещение. Направление скорости считаем положительным, поэтому v₀ = 3 м/с и a = 2 м/с².

1. Запишем формулу: s = v₀t + at²⁄2.
2. Подставим данные: s = 3 · 5 + 2 · 5²⁄2 = 15 + 25 = 40 м.
3. Проверим единицы: оба слагаемых имеют размерность метра, значит результат можно складывать.

Ответ: перемещение тела равно 40 м.

Задача 2

Автомобиль движется со скоростью 12 м/с и начинает тормозить с ускорением −3 м/с². Найдём перемещение и скорость через 3 с. Отрицательный знак ускорения означает, что оно направлено против движения автомобиля.

1. Для перемещения используем s = v₀t + at²⁄2.
2. Получаем s = 12 · 3 + (−3) · 3²⁄2 = 36 − 13,5 = 22,5 м.
3. Конечную скорость найдём по формуле v = v₀ + at: v = 12 − 3 · 3 = 3 м/с.

Ответ: перемещение равно 22,5 м, скорость через 3 с — 3 м/с.

Задача 3

Тело переместилось на 40 м, имея начальную скорость 4 м/с и ускорение 2 м/с². Требуется определить время движения. Неизвестное время входит и в первый, и во второй член формулы, поэтому получится квадратное уравнение.

1. Составим уравнение: 40 = 4t + 2t²⁄2, то есть t² + 4t − 40 = 0.
2. Найдём корни: t = (−4 ± √176)⁄2. Получаются примерно 4,63 с и −8,63 с.
3. Отрицательное время не имеет физического смысла для отсчёта от начала движения, поэтому выбираем положительный корень.

Ответ: время движения примерно равно 4,63 с.

Типичные ошибки

Первая ошибка — использовать s = at²⁄2 и забывать v₀t. Так можно поступать только при нулевой начальной скорости. Проверьте условие: если тело уже двигалось в начальный момент, первое слагаемое обязательно нужно учесть.

Вторая ошибка — подставлять модуль ускорения вместо его алгебраического значения. При торможении это меняет знак второго слагаемого и даёт неверное перемещение. Перед вычислением определите направление оси и сравните его с направлением ускорения.

Третья ошибка — путать перемещение с пройденным путём. Перемещение может быть отрицательным или меньше пути, потому что учитывает только начальную и конечную точки. Для проверки представьте направление движения и выясните, возвращалось ли тело назад.

Четвёртая ошибка — смешивать единицы, например подставлять часы и километры вместе с ускорением в м/с². Из-за этого числа имеют несовместимые размерности. Переведите скорость в м/с, время в секунды, а путь — в метры до подстановки.

Связь с другими темами

Для изучения формулы нужны определения скорости и ускорения, закон v = v₀ + at, а также умение выбирать положительное направление оси. Перемещение связано с графиками: при построении графика скорости оно равно площади под графиком за выбранный промежуток времени. Та же формула применяется при свободном падении, торможении транспорта и анализе движения тела, брошенного под углом.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Скорость изменяется по закону v = v₀ + at.
• Перемещение определяется формулой s = v₀t + at²⁄2.
• Слагаемое v₀t связано с начальной скоростью, а at²⁄2 — с ускорением.
• Знаки скорости, ускорения и перемещения зависят от выбранного направления оси.
• Перемещение — векторная величина, а пройденный путь не может быть отрицательным.