"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Перемещение тела, которое начинает двигаться из состояния покоя и движется с постоянным ускорением, находят по формуле s = at²/2. Она показывает, как связаны пройденное направленное расстояние, ускорение и время. Перемещение растёт пропорционально квадрату времени: при увеличении времени в два раза оно становится в четыре раза больше. Тема нужна для описания разгона автомобилей, падения тел и других движений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямолинейное движение — движение тела по одной прямой. На этой прямой выбирают ось и её положительное направление, например вправо; противоположному направлению приписывают отрицательный знак. Это нужно, чтобы описывать не только величину, но и направление перемещения и скорости.
Равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением. За равные промежутки времени скорость изменяется на одну и ту же величину, поэтому тело может равномерно разгоняться или замедляться. Постоянство ускорения позволяет использовать простые формулы для скорости и перемещения.
Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положение тела; его обозначают s или Δx. В отличие от длины пути, перемещение имеет направление и может быть положительным или отрицательным. Оно показывает, насколько изменилось положение тела относительно выбранной оси.
Движение без начальной скорости — движение, при котором в начальный момент скорость равна нулю: v₀ = 0. Иными словами, тело начинает двигаться из состояния покоя. Благодаря этому в формулах исчезает слагаемое, связанное с начальной скоростью.
При постоянном ускорении скорость каждую секунду изменяется на величину, равную произведению ускорения на время. Если вначале тело покоилось, то через время t добавка к скорости составляет at, а начальной скорости нет. Поэтому v = at: чем дольше длится разгон, тем больше становится скорость.
Чтобы найти перемещение, удобно использовать среднюю скорость. При разгоне от нулевой скорости до конечной v средняя скорость равна половине их суммы: vср = (0 + v)/2 = v/2. Подставляя v = at в связь s = vсрt, получаем s = (at/2)t = at²/2.
Квадрат времени появляется потому, что за время движения увеличивается не только продолжительность движения, но и сама скорость. За первую секунду тело движется медленнее, чем за вторую, а за вторую — медленнее, чем за третью. Поэтому равные промежутки времени добавляют всё большие перемещения, и зависимость s от t становится квадратичной.
В формуле s = at²/2 ускорение показывает, насколько быстро растёт скорость, а время определяет длительность разгона. Если ускорение увеличить в два раза при том же времени, перемещение тоже увеличится в два раза. Если увеличить время в два раза, перемещение возрастёт в четыре раза, поскольку t стоит в квадрате; в СИ это согласуется с единицами: (м/с²) · с² = м.
Если тело движется в выбранном положительном направлении, перемещение имеет положительный знак, а его модуль совпадает с пройденным путём. При движении в противоположную сторону перемещение отрицательно, хотя пройденный путь остаётся положительной величиной. Поэтому перед решением нужно установить направление оси и знаки величин.
| Величина или связь | Обозначение | Формула | Единица измерения и смысл |
|---|---|---|---|
| Начальная скорость | v₀ | v₀ = 0 | м/с; тело начинает движение из покоя |
| Ускорение | a | a = const | м/с²; изменение скорости за единицу времени |
| Скорость через время t | v | v = at | м/с; скорость в данный момент |
| Перемещение через время t | s | s = at²/2 | м; направленное изменение положения |
| Связь перемещения со скоростью и временем | s, vср, t | s = vсрt | м; перемещение равно средней скорости, умноженной на время |
| Зависимость перемещения от времени | s(t) | s = at²/2 | перемещение пропорционально квадрату времени |
Таблицу удобно использовать как краткий алгоритм: сначала определить известные величины и выбрать подходящую формулу. Затем проверить, что время, ускорение и перемещение выражены в согласованных единицах СИ. Если неизвестно ускорение, формулу можно преобразовать: a = 2s/t².
Условие: тело начинает движение из состояния покоя с ускорением 2 м/с². Найдём перемещение за 5 с. Начальная скорость равна нулю, поэтому подходит формула для движения без начальной скорости.
Ответ: перемещение тела равно 25 м.
Условие: автомобиль, трогаясь с места, за 10 с прошёл 100 м. Требуется определить ускорение. Слова «трогаясь с места» означают, что v₀ = 0, поэтому неизвестное ускорение можно выразить из основной формулы.
Ответ: ускорение автомобиля равно 2 м/с².
Условие: два тела начинают движение из покоя с ускорениями a₁ и a₂. Нужно сравнить их перемещения за одно и то же время и определить, когда первое догонит второе. Пусть первое тело имеет большее ускорение: a₁ > a₂, а в начальный момент тела находятся рядом.
Ответ: при старте из одной точки перемещения относятся как ускорения; время догоняния при a₁ > a₂ определяется формулой t = √(2L/(a₁ − a₂)).
Использование s = vt. Эту формулу применяют при постоянной скорости, а при разгоне скорость меняется. Проверка проста: если в условии дано ускорение и сказано о начале движения из покоя, используйте s = at²/2 или среднюю скорость.
Забывают квадрат времени. Ошибка появляется из-за привычки считать путь пропорциональным времени. Сверьте размерность: без t² единицы не дадут метры, а при увеличении времени в два раза результат должен вырасти в четыре раза.
Путают скорость и ускорение. Скорость измеряется в м/с, ускорение — в м/с², поэтому конечную скорость нельзя подставлять вместо a. Полезно выписать обозначения и единицы до начала вычислений.
Считают перемещение равным пути всегда. При смене направления или движении против выбранной оси знак перемещения может отличаться от знака пути. Проверьте направление оси и отделяйте модуль перемещения от его алгебраического значения.
Для этой темы нужны определения скорости, ускорения, перемещения, равномерного и равноускоренного движения, а также умение преобразовывать формулы. Формула описывает разгон автомобилей, падение тел и движение поездов. Далее она расширяется на случай ненулевой начальной скорости: s = v₀t + at²/2, а также используется при анализе графиков движения.
Почему в формуле перемещения появляется квадрат времени?
При постоянном ускорении скорость постепенно увеличивается, поэтому тело проходит за каждую следующую секунду всё больший путь. Средняя скорость за время движения равна at/2, а при умножении её на t получается s = at²/2.
Можно ли применять формулу s = at²/2, если тело уже имело начальную скорость?
Нет, эта формула справедлива только при v₀ = 0. Если начальная скорость не равна нулю, используют формулу s = v₀t + at²/2.
Чем перемещение отличается от пройденного пути в этой задаче?
Перемещение — направленный отрезок от начального положения к конечному, а путь — длина всей траектории. При прямолинейном движении без смены направления модуль перемещения равен пути, но знак перемещения зависит от выбора положительной оси.
Как найти ускорение, если известны перемещение и время?
Из формулы s = at²/2 выражают ускорение: a = 2s/t². Перед вычислением нужно перевести величины в единицы СИ.
Почему при увеличении времени в два раза перемещение увеличивается в четыре раза?
Перемещение пропорционально квадрату времени: s = at²/2. Поэтому замена t на 2t даёт s₂ = a(2t)²/2 = 4s.
2. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости
