2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Ускорение показывает, как быстро меняется скорость, а его знак указывает направление вектора ускорения относительно выбранной оси. Положительное ускорение не обязательно означает разгон: если скорость отрицательна, такое ускорение может уменьшать модуль скорости. Это понятие позволяет описывать движение формулами, не измеряя скорость в каждый момент.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела; при движении вдоль оси его обозначают Δx. Перемещение может быть положительным, отрицательным или нулевым: знак показывает направление, а ноль означает совпадение начального и конечного положений. Например, тело может пройти некоторый путь и вернуться туда, откуда начало движение. Перемещение нужно, чтобы определить изменение положения тела с учётом направления.

Путь — длина траектории, пройденная телом, его обозначают s. Это скалярная величина: у неё есть числовое значение, но нет направления, поэтому путь всегда неотрицателен. Если тело прошло 10 м, а затем ещё 3 м, полный путь равен 13 м независимо от направления движения. Путь нужен, когда требуется узнать общее расстояние, пройденное телом.

Координата тела — число, задающее его положение на выбранной оси. Начальная координата обозначается x₀, конечная — x, а связь между ними и перемещением записывается так: Δx = x − x₀. Поэтому конечная координата равна начальной координате плюс перемещение. Координатный способ помогает описать положение тела, не отсчитывая расстояние заново от начала оси.

Как это устроено

Ускорение — это изменение скорости за единицу времени: a = (v − v₀)/t, где v₀ — начальная скорость, а v — скорость через время t. Если ускорение постоянно, за каждую секунду скорость изменяется на одну и ту же величину. Перенесём слагаемые в определении ускорения: v − v₀ = at, откуда v = v₀ + at. Знак a учитывается автоматически: при противоположных знаках скорости и ускорения модуль скорости сначала уменьшается.

Перемещение за время можно представить как площадь под графиком скорости. При постоянном ускорении график v(t) — прямая, а фигура под ней состоит из прямоугольника площадью v₀t и треугольника с основанием t и высотой at. Их сумма даёт Δx = v₀t + at²/2. Если скорость отрицательна, площадь под осью времени считают со знаком минус: это отражает направление перемещения, а не отрицательный путь.

Координата показывает положение, а перемещение — насколько это положение изменилось. По определению Δx = x − x₀, значит, x = x₀ + Δx. Подставляя формулу перемещения при постоянном ускорении, получаем x = x₀ + v₀t + at²/2. Начальная координата задаёт, откуда начинается отсчёт, а остальные слагаемые описывают изменение положения со временем.

Если тело всё время движется в одну сторону, перемещение направлено вдоль всего пройденного участка или против него, поэтому путь равен модулю перемещения: s = |Δx|. При развороте часть траектории проходится в противоположном направлении, и перемещение уже не показывает общий пройденный отрезок. Тогда находят перемещения на участках до и после разворота, а для пути складывают их модули. Разделить движение помогает момент, когда скорость обращается в ноль.

Знаки величин зависят от того, какое направление оси выбрано положительным. Если тело движется в эту сторону, его скорость положительна; если в противоположную — отрицательна. Ускорение может быть направлено как вдоль оси, так и против неё, а его знак нельзя выбирать только по словам разгон или торможение. Сначала задайте ось, затем последовательно определите знаки скорости, ускорения и перемещения.

Графики показывают, как формулы описывают движение: при постоянном ускорении скорость меняется линейно, а координата — по параболе. Площадь под графиком скорости за выбранный промежуток равна перемещению, причём участки ниже оси времени учитываются со знаком минус. По графику координаты можно проследить, где находится тело в каждый момент. Для примера ниже начальная координата равна нулю, начальная скорость — 2 м/с, ускорение — 1 м/с².

Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Пользуйтесь таблицей, сначала выяснив, что требуется найти: изменение положения или длину всего маршрута. Если направление не менялось, достаточно вычислить перемещение и взять его модуль для пути. При развороте разбейте движение на участки и сложите длины этих участков.

Разбор задач

Автомобиль разгоняется

Автомобиль начинает движение со скоростью 4 м/с и движется с ускорением 2 м/с² в течение 5 с. Найдём перемещение и конечную координату, если x₀ = 0. Считаем положительным направление движения автомобиля, поэтому v₀ = 4 м/с и a = 2 м/с² положительны. Ускорение и скорость направлены одинаково, значит, автомобиль не разворачивается.

1. Найдём конечную скорость: v = v₀ + at = 4 + 2 · 5 = 14 м/с.
2. Вычислим перемещение: Δx = v₀t + at²/2 = 4 · 5 + 2 · 25/2 = 45 м.
3. Конечная координата x = x₀ + Δx = 0 + 45 = 45 м.

Ответ: перемещение 45 м, конечная координата 45 м. Положительный знак означает, что автомобиль сместился вдоль выбранного положительного направления. Поскольку движения назад не было, путь также равен 45 м.

Равнозамедленное движение

Тело движется со скоростью 12 м/с и равнозамедленно останавливается за 6 с. Выберем положительное направление по ходу движения: начальная скорость положительна, а ускорение при торможении направлено против движения. Тело не успевает развернуться до остановки, поэтому путь равен модулю перемещения.

1. Найдём ускорение из изменения скорости: a = (v − v₀)/t = (0 − 12)/6 = −2 м/с².
2. Подставим значения в формулу: Δx = v₀t + at²/2 = 12 · 6 − 2 · 36/2 = 36 м.
3. Так как скорость всё время направлена вдоль выбранной оси и только уменьшается до нуля, s = |Δx| = 36 м.

Ответ: перемещение 36 м, путь 36 м. Отрицательный знак ускорения указывает на направление против оси, а не на отрицательный путь. Условие остановки в конце интервала не означает, что тело успело начать движение назад.

Движение с разворотом

Тело движется вдоль оси со скоростью 10 м/с и ускорением −2 м/с². Найдём момент остановки, перемещение и полный путь за 8 с. Начальную скорость считаем положительной, поэтому отрицательное ускорение постепенно уменьшает её, а после остановки скорость становится отрицательной. Для пути придётся отдельно рассмотреть движение до и после разворота.

1. Найдём момент остановки из v = v₀ + at = 0: 0 = 10 − 2t, откуда t = 5 с.
2. За первые 5 с перемещение Δx₁ = 10 · 5 − 2 · 25/2 = 25 м. За следующие 3 с начальная скорость участка равна нулю, поэтому Δx₂ = 0 · 3 − 2 · 9/2 = −9 м.
3. Полное перемещение Δx = Δx₁ + Δx₂ = 25 − 9 = 16 м. Путь складывает длины участков: s = |25| + |−9| = 34 м.

Ответ: тело остановится через 5 с, перемещение за 8 с равно 16 м, путь — 34 м. Путь больше модуля перемещения, потому что после разворота тело прошло 9 м в обратном направлении. Отрицательное перемещение второго участка обозначает направление, а не отрицательное расстояние.

Типичные ошибки

Первая ошибка — всегда приравнивать путь к перемещению или его модулю. Так делают, потому что при движении без разворота эти величины действительно связаны формулой s = |Δx|, но после разворота конечное смещение не показывает весь маршрут. Проверьте знак скорости на всём интервале: если он меняется, разделите движение на участки и сложите модули перемещений.

Вторая ошибка — считать путь отрицательным, если скорость или перемещение отрицательны. Знак относится к направлению движения вдоль оси, тогда как путь измеряет длину траектории. Чтобы проверить результат, вспомните, что путь не может быть меньше нуля; при необходимости возьмите модуль перемещения на участке без разворота.

Третья ошибка — подставлять в формулу Δx = v₀t + at²/2 несогласованные знаки. Она верна для величин, записанных относительно одной и той же оси, а не для их модулей, выбранных независимо. Перед вычислением отметьте положительное направление и проверьте, куда направлены скорость и ускорение; результат должен иметь знак фактического смещения.

Четвёртая ошибка — подставлять конечную скорость вместо средней в формулу перемещения. За промежуток с ускорением скорость обычно не постоянна, поэтому тело не движется всё время с конечной скоростью. При постоянном ускорении используйте среднюю скорость (v₀ + v)/2 или формулу Δx = v₀t + at²/2, а выбранный способ проверьте на согласованность единиц и знаков.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координатный метод, представление о векторе перемещения, скорости и ускорении, а также умение читать графики движения. Формулы применяются в задачах на разгон и торможение, свободное падение и движение тела после броска: во всех этих случаях важно выбрать ось и учесть знаки. Позже те же зависимости помогают анализировать движение под действием постоянной силы и графики координаты, скорости и ускорения. Так кинематическое описание связывает наблюдаемое движение с его причиной.

Что запомнить

• Перемещение — направленная величина, путь — неотрицательная длина траектории.
• При постоянном ускорении скорость изменяется линейно со временем.
• Перемещение за время t равно v₀t + at²/2.
• Координата тела определяется формулой x = x₀ + v₀t + at²/2.
• Если тело не меняет направления, путь равен модулю перемещения.
• При развороте полный путь находят сложением путей отдельных участков.
• Знаки величин определяются выбранным положительным направлением оси.