2. Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Это значит, что за каждую секунду скорость изменяется на одну и ту же величину. Такая модель помогает описывать разгон и торможение, а также рассчитывать положение тела через заданное время.

Ускорение — векторная физическая величина, показывающая изменение скорости за единицу времени. Если выбрана ось движения, ускорение записывают со знаком: он указывает направление изменения скорости относительно этой оси. Знак нужен, чтобы отличать разгон от торможения и правильно учитывать поворот движения.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. При движении вдоль оси его записывают как алгебраическую разность координат: Δx = x − x₀. Перемещение показывает, насколько и в какую сторону изменилось положение тела, поэтому может быть отрицательным.

Путь — длина траектории, пройденная телом; это скалярная величина, не имеющая отрицательных значений. Путь складывается из всех пройденных участков, в том числе если тело возвращается назад. Он нужен, когда требуется узнать, какое расстояние тело прошло фактически.

Как это устроено

Ускорение равно изменению скорости, делённому на время: a = (v − v₀)/t. Если ускорение постоянно, за одинаковые промежутки времени скорость получает одинаковое приращение. Поэтому зависимость скорости от времени линейна и описывается формулой v = v₀ + at; знак ускорения определяет, увеличивается или уменьшается алгебраическое значение скорости.

Перемещение за промежуток времени можно найти по графику скорости: оно равно алгебраической площади между графиком и осью времени. При постоянном ускорении график скорости — прямая, а площадь под ней образует трапецию с основаниями v₀ и v и высотой t. Её площадь равна (v₀ + v)t/2, поэтому подстановка конечной скорости v = v₀ + at приводит к формуле перемещения.

Итак, Δx = v₀t + at²/2. Слагаемое v₀t описывает перемещение, которое получилось бы при сохранении начальной скорости, а at²/2 учитывает её изменение из-за ускорения. Ускорение в формуле берут со знаком, соответствующим выбранной оси: так формула сама учитывает, в какую сторону меняется скорость.

Перемещение показывает только разность между конечным и начальным положениями, а путь — всю длину траектории. Если тело движется всё время в одном направлении, путь равен модулю перемещения. Когда тело разворачивается, часть пройденного пути приходится на возвращение, поэтому путь становится больше модуля перемещения.

Смену направления находят по моменту остановки: при v = 0 формула скорости даёт v₀ + at = 0. Затем время движения делят на участки до и после остановки. На каждом участке определяют перемещение, а общий путь получают, складывая модули этих перемещений; общее перемещение, напротив, складывают с учётом знаков.

Путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Сначала выясните, меняет ли тело направление: проверьте, обращается ли скорость в ноль в рассматриваемом промежутке. Если смены направления нет, используйте формулы из соответствующей строки и учтите знак перемещения. Если направление меняется, считайте каждый участок отдельно: для пути складывайте модули, а для перемещения — величины со знаками.

Разбор задач

Задача 1. Тело движется прямолинейно с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с². Найдём перемещение и путь за 4 с. Поскольку скорость и ускорение направлены одинаково, тело не остановится и не развернётся.

1. Запишем данные: v₀ = 3 м/с, a = 2 м/с², t = 4 с. Для перемещения используем Δx = v₀t + at²/2.
2. Подставим значения: Δx = 3 · 4 + 2 · 4²/2 = 12 + 16 = 28 м. Положительный знак соответствует выбранному направлению движения.
3. Скорость всё время положительна, значит, направление не меняется. Поэтому путь равен модулю перемещения: s = 28 м.

Ответ: перемещение — 28 м, путь — 28 м.

Задача 2. Автомобиль движется со скоростью 10 м/с и имеет ускорение −2 м/с². Найдём перемещение и путь за 8 с. Отрицательное ускорение сначала тормозит автомобиль, но после остановки заставляет его двигаться в обратную сторону.

1. Найдём остановку из условия v = 0: 10 − 2t = 0, откуда t = 5 с. Значит, сначала автомобиль движется 5 с вперёд, а затем ещё 3 с — назад.
2. Перемещение за всё время: Δx = 10 · 8 + (−2) · 8²/2 = 80 − 64 = 16 м. Это итоговый сдвиг от начального положения.
3. На первом участке перемещение равно 10 · 5 − 2 · 5²/2 = 25 м. На втором участке начальная скорость равна нулю, поэтому Δx₂ = (−2) · 3²/2 = −9 м; путь здесь равен 9 м.
4. Сложим длины участков: s = 25 + 9 = 34 м. Отрицательное перемещение второго участка не вычитают из пути.

Ответ: перемещение — 16 м, путь — 34 м.

Задача 3. Тело за 6 с переместилось на 18 м, начальная скорость равна нулю. Найдём ускорение и путь, если тело двигалось по прямой. Положительное перемещение задаёт положительное направление выбранной оси.

1. Используем формулу Δx = v₀t + at²/2. Так как v₀ = 0, получаем 18 = a · 6²/2.
2. Решаем уравнение: 18 = 18a, значит, a = 1 м/с². Ускорение положительное, и скорость v = at остаётся положительной после начала движения.
3. Направление не менялось, следовательно, путь равен модулю перемещения: s = |18| = 18 м.

Ответ: ускорение — 1 м/с², путь — 18 м.

Типичные ошибки

Считать путь и перемещение одной величиной. Это верно только по модулю, если тело не меняет направления; при развороте пройденные участки продолжают увеличивать путь, но могут частично компенсировать друг друга в перемещении. Ошибку допускают, потому что при движении в одну сторону значения совпадают. Проверка: выясните, менялся ли знак скорости.

Подставлять модуль ускорения вместо его алгебраического значения. Тогда теряется информация о направлении изменения скорости: торможение можно ошибочно принять за разгон. Обычно так делают, считая, что ускорение всегда положительно. Проверяйте знак относительно выбранной оси и подставляйте именно значение a, а не |a|.

Использовать s = v₀t + at²/2 после смены направления. Эта формула задаёт перемещение, а не всегда путь; после разворота её результат может быть меньше пройденного расстояния или отрицательным. Ошибка возникает из-за буквы s, которой часто обозначают путь. Чтобы проверить себя, сравните знак скорости в начале и конце промежутка и при необходимости разделите движение на участки.

Не находить момент остановки, если конечная скорость отрицательна. В таком случае тело успело сменить направление, и нельзя считать, что весь путь равен модулю общего перемещения. Остановка остаётся незаметной, если смотреть только на итоговое положение. Решите уравнение v₀ + at = 0, разделите время на участки и сложите длины каждого из них.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия координаты, скорости и ускорения, умение читать графики величин от времени и формулы равнопеременного движения. Те же способы рассуждения применяются при изучении свободного падения и вертикального броска: там движение также описывают постоянным ускорением, только его направление задаёт тяжесть. Расчёты пути и перемещения помогают анализировать движение транспорта и спортивных объектов, а также решать задачи по кинематике.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Скорость изменяется по закону v = v₀ + at.
• Перемещение определяется формулой Δx = v₀t + at²/2.
• Путь не бывает отрицательным.
• Если направление не меняется, путь равен модулю перемещения.
• При смене направления движение нужно разбить на участки.
• Момент смены направления находят из условия v = 0.