"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
График скорости от времени помогает увидеть, как тело движется на каждом участке, и найти пройденный путь. Для этого график рассматривают вместе с осью времени: площадь фигуры под линией скорости численно равна пути. При постоянной скорости получается прямоугольник, при разгоне — часто треугольник, а при изменении скорости между двумя значениями — трапеция. Если участков несколько, их площади складывают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Скорость — физическая величина, показывающая, какой путь тело проходит за единицу времени; на графике её откладывают по вертикальной оси. Обозначают скорость буквой v, а единицей в СИ служит метр в секунду (м/с). По значению скорости можно судить, как быстро движется тело. На графике она помогает связать движение с пройденным путём.
Путь — длина траектории движения тела; его обозначают буквой s и измеряют в метрах. Траектория — линия, по которой движется тело, а путь показывает её длину за выбранный промежуток времени. Эта величина нужна, чтобы описать, сколько тело прошло, независимо от формы траектории. Путь не может быть отрицательным.
График зависимости скорости от времени показывает, как изменяется скорость тела в каждый момент времени. Обычно время t откладывают по горизонтальной оси, а скорость v — по вертикальной. По такому графику можно узнать скорость в выбранный момент и проследить, разгоняется ли тело, замедляется или движется равномерно. Кроме того, форма графика позволяет находить путь.
Площадь под графиком скорости — геометрическая величина, численно равная пройденному пути за рассматриваемый промежуток времени, когда скорость неотрицательна. Под графиком понимают область между линией v(t) и осью времени, ограниченную начальным и конечным моментами. Эта площадь переводит сведения о скорости и времени в путь. Если график состоит из частей, площадь находят для каждой части отдельно.
При постоянной скорости график v(t) — горизонтальная линия, а область под ним имеет форму прямоугольника. Его ширина равна времени t, а высота — скорости v, поэтому площадь равна vt. Это совпадает с формулой равномерного движения s = vt: за каждую секунду тело проходит одинаковый путь, и эти одинаковые отрезки складываются за всё время. Значит, площадь прямоугольника выражает тот же путь, что и формула движения.
Если скорость меняется, одного значения v уже недостаточно: на разных отрезках времени тело проходит разный путь. Поэтому интервал разбивают на части, на каждой из которых скорость можно считать постоянной или почти постоянной, вычисляют пути на этих частях и складывают. Чем мельче разбиение, тем точнее такое приближение. Для графика, состоящего из прямых отрезков, можно сразу находить площади соответствующих геометрических фигур.
Когда скорость линейно возрастает от нуля, график за выбранное время t поднимается от оси времени до значения v. Границы интервала вместе с графиком образуют треугольник, потому что скорость растёт равномерно, а линия графика прямая. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, поэтому s = vt/2. Половина появляется потому, что средняя скорость при таком разгоне равна v/2.
При линейном изменении скорости от v₁ до v₂ область под графиком имеет форму трапеции. Её площадь равна произведению времени на среднее арифметическое начальной и конечной скоростей: s = (v₁ + v₂)t/2. Такое усреднение работает, поскольку прямая линия графика означает равномерное изменение скорости, а значит, средняя скорость за интервал находится посередине между v₁ и v₂. Если обе скорости одинаковы, трапеция превращается в прямоугольник.
Для произвольного графика путь находят по площади всей фигуры между графиком скорости, осью времени и границами рассматриваемого промежутка. Чтобы вычислить её, сложную область делят на знакомые фигуры либо приближённо — на узкие прямоугольники. Площадь каждого участка соответствует пути за свой отрезок времени, поэтому общий путь получается сложением. Единицы площади здесь дают единицу пути: (м/с) · с = м.
Сначала определите, на какие участки разбит график, и выберите для каждого подходящую фигуру. Затем подставьте значения скорости и времени в формулу площади и сложите результаты. Таблица помогает сопоставить форму участка с вычислением; следите, чтобы время в формуле относилось именно к этому участку.
| Вид участка графика | Геометрическая фигура | Формула пути | Что складывать при нескольких участках |
|---|---|---|---|
| Постоянная скорость | Прямоугольник | s = vt | Площади всех прямоугольников |
| Скорость линейно возрастает от нуля | Треугольник | s = vt/2 | Площади треугольников и других участков |
| Скорость линейно изменяется от v₁ до v₂ | Трапеция | s = (v₁ + v₂)t/2 | Площади всех трапеций |
| График состоит из нескольких разных участков | Набор фигур | s = s₁ + s₂ + … | Сумму площадей участков |
Задача 1. Тело движется со скоростью 5 м/с в течение 8 с. Найдите путь. Скорость постоянна, поэтому участок графика будет прямоугольником. Нужно найти его площадь, используя время как основание, а скорость как высоту.
Ответ: путь равен 40 м. Проверка единиц даёт (м/с) · с = м. Это подтверждает, что получена величина длины.
Задача 2. Скорость возрастает от 0 до 6 м/с за 4 с, затем остаётся равной 6 м/с ещё 3 с. Найдите путь. На первом участке площадь под графиком — треугольник, на втором — прямоугольник. Так как тело движется на обоих участках, полный путь равен сумме площадей.
Ответ: за всё время тело прошло 30 м. Делить первый участок пополам нужно потому, что его график образует треугольник. Второй участок не требует такого деления: скорость там постоянна.
Задача 3. График скорости задан точками (0 с; 0 м/с), (2 с; 4 м/с), (5 с; 1 м/с), (7 с; 1 м/с). Найдите путь за 7 с и среднюю скорость. По точкам видно, что график состоит из разгона, линейного уменьшения скорости и участка с постоянной скоростью. Найдём площадь каждой фигуры, затем разделим весь путь на 7 с.
Ответ: путь равен 13,5 м, средняя скорость — примерно 1,93 м/с. В трапеции используется длительность участка 5 − 2 = 3 с, а не всё время движения. Сумма трёх площадей учитывает график целиком.
Если умножить конечную скорость на всё время, получится завышенный путь при разгоне: такое вычисление предполагает, что тело всё время двигалось с этой скоростью. Ошибку допускают, когда замечают конечное значение скорости, но не учитывают наклон графика. Следует найти площадь под всей линией, разбив её на участки. Для проверки сравните вычисление со средней скоростью: при разгоне от нуля она меньше конечной.
Складывать только высоты участков нельзя, потому что высота графика — это скорость, а не путь. Такая ошибка возникает, если график читают как набор значений и забывают, что важна также длительность движения на каждом участке. Для каждого участка умножайте скорость на время или используйте формулу соответствующей площади. Проверка размерности подскажет ошибку: скорость нельзя складывать так, чтобы получить метры.
Несогласованные единицы приводят к неверному числу или размерности: например, время в минутах нельзя без перевода подставлять в формулу вместе со скоростью в м/с. Эту ошибку легко пропустить, если данные выглядят привычно. Перед расчётом переведите величины в согласованные единицы, например секунды и метры в секунду. В конце проверьте, что путь выражен в метрах или другой единице длины.
Если посчитать площадь только одной фигуры, путь на остальных участках потеряется. Так бывает, когда решающий замечает первый треугольник или прямоугольник и не проверяет весь интервал времени. Отметьте начало и конец каждого участка графика, вычислите все площади и сложите их. Контрольная проверка: сумма длительностей участков должна равняться общему времени движения.
Для работы с графиком нужно уметь читать координатные оси, находить значения величин и вычислять площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Также важно переводить единицы скорости и времени, чтобы подстановка в формулы была согласованной. Эти навыки позволяют превращать графическую информацию в численный ответ.
При изучении равноускоренного движения скорость меняется со временем, и график v(t) помогает находить путь и перемещение. Для этого форму участка связывают с характером изменения скорости. Площадь под графиком остаётся способом подсчёта пройденного пути и в более сложных задачах.
Если график произвольный и его нельзя разбить на несколько простых фигур, площадь можно представить как предел суммы площадей всё более узких прямоугольников. Эта идея подготавливает к пониманию интеграла. В старших курсах интеграл используют для точного нахождения пути при сложной зависимости скорости от времени.
Почему площадь под графиком скорости имеет размерность пути?
По вертикальной оси отложена скорость в м/с, а по горизонтальной — время в секундах. При умножении единиц секунды сокращаются: (м/с) · с = м, то есть получается единица длины.
Как найти путь, если график состоит из нескольких участков?
Разбейте график на простые фигуры: прямоугольники, треугольники или трапеции. Найдите площадь каждой фигуры под графиком и сложите результаты.
Почему при разгоне от нулевой скорости появляется треугольник?
Если скорость равномерно растёт от нуля, график представляет собой наклонный отрезок, начинающийся в начале координат. Вместе с осью времени и границами интервала он образует треугольник, площадь которого равна пути.
Можно ли найти путь по одному значению конечной скорости?
Обычно нельзя: одинаковая конечная скорость может быть достигнута за разное время и при разном движении. Нужно знать скорость на всём интервале или иметь достаточно данных, чтобы восстановить график и вычислить площадь под ним.
Чем нахождение пути по графику скорости отличается от нахождения перемещения?
Путь учитывает всю длину траектории и не бывает отрицательным. Перемещение учитывает направление: если скорость может быть отрицательной, площадь графика ниже оси времени входит в перемещение со знаком минус, а в путь — как положительная величина.
1. Нахождение пути по графику зависимости скорости от времени
