§ 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. Поэтому за равные промежутки времени скорость изменяется на равные величины. Это позволяет описывать движение несколькими простыми формулами.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. При движении по прямой оно направлено вдоль этой прямой. Его проекция может быть положительной или отрицательной, поскольку зависит от выбранного направления оси.

Проекция перемещения — алгебраическая величина, полученная при рассмотрении перемещения относительно оси координат. Она показывает не только величину, но и направление движения вдоль оси. Такой способ записи удобен для вычислений со знаками.

Начальная скорость обозначается v₀, а ускорение — a; их проекции на ось записывают как v₀ₓ и aₓ. Значения этих проекций зависят от того, куда направлена положительная полуось. Если вектор направлен по оси, проекция положительна, а если против оси — отрицательна.

Как это устроено

Ускорение показывает, насколько изменяется скорость за единицу времени: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t. При постоянном ускорении это изменение накапливается пропорционально времени. Поэтому после преобразования получаем vₓ = v₀ₓ + aₓt: к начальной скорости прибавляется изменение скорости aₓt.

Средняя скорость при равноускоренном движении равна полусумме начальной и конечной: vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2. Причина видна на графике скорости: зависимость vₓ от t изображается прямой, а средняя скорость соответствует высоте прямоугольника с такой же площадью, как у трапеции под графиком. Поэтому она оказывается ровно между начальной и конечной скоростями.

Перемещение за время t равно произведению средней скорости на это время: sₓ = vсрₓt. Подставляя выражение для средней скорости, получаем sₓ = (v₀ₓ + vₓ)t/2. Если вместо vₓ подставить закон скорости, выходит sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.

Знак перемещения читают только вместе с выбранной осью. Например, если ось направлена вправо, движение вправо даёт положительную проекцию, а движение влево — отрицательную. Та же ось задаёт знаки v₀ₓ, vₓ и aₓ, поэтому нельзя выбирать знак каждой величины отдельно.

Когда время неизвестно, его можно исключить из уравнений скорости и перемещения. Для этого из закона скорости выражают t и подставляют в формулу перемещения, после упрощения получается vₓ² − v₀ₓ² = 2aₓsₓ. Формула особенно удобна в задачах на торможение и разгон, где известны скорости и расстояние.

Формулы перемещения при прямолинейном равноускоренном движении

Сначала выпишите известные величины и их проекции, а затем выберите формулу, содержащую нужную неизвестную. Перед подстановкой проверьте единицы измерения и знаки. Если время неизвестно, обычно удобнее использовать последнюю формулу.

Разбор задач

Задача 1

Тело движется с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с². Найдём проекцию перемещения за 4 с, выбрав ось по направлению движения. Тогда v₀ₓ = 3 м/с, aₓ = 2 м/с², t = 4 с.

1. Используем формулу sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
2. Подставляем данные: sₓ = 3 · 4 + 2 · 4²/2 = 12 + 16 = 28 м.

Ответ: проекция перемещения равна 28 м. Положительный знак означает, что тело переместилось в выбранном направлении оси.

Задача 2

Автомобиль движется со скоростью 20 м/с и начинает тормозить с ускорением −4 м/с². Направим ось по движению автомобиля, поэтому v₀ₓ = 20 м/с, а ускорение отрицательно. Нужно найти перемещение до остановки, то есть при vₓ = 0.

1. Из уравнения скорости 0 = 20 − 4t находим время остановки: t = 5 с.
2. Вычисляем перемещение: sₓ = 20 · 5 + (−4) · 5²/2 = 100 − 50 = 50 м.
3. Проверяем результат: автомобиль двигался вперёд, поэтому перемещение положительно, хотя ускорение было отрицательным.

Ответ: до остановки автомобиль переместился на 50 м.

Задача 3

Тело прошло 45 м за 5 с, начав движение из состояния покоя с постоянным ускорением. Выберем ось по движению. Тогда v₀ₓ = 0, sₓ = 45 м и t = 5 с.

1. Из формулы перемещения получаем 45 = aₓ · 5²/2.
2. Находим ускорение: aₓ = 2 · 45/25 = 3,6 м/с².
3. Конечную скорость находим по закону скорости: vₓ = 0 + 3,6 · 5 = 18 м/с.

Ответ: ускорение тела равно 3,6 м/с², конечная скорость — 18 м/с. Направление обеих величин совпадает с положительным направлением оси.

Типичные ошибки

Подстановка модуля ускорения вместо его проекции часто приводит к неверному знаку. При торможении ускорение направлено против скорости, поэтому при оси по движению aₓ отрицательно. Проверьте направление векторов до вычислений.

Перемещение и путь не всегда совпадают. Перемещение может быть отрицательным или равняться нулю, а путь показывает длину всей траектории и не бывает отрицательным. Для проверки мысленно сравните начальное и конечное положения тела.

В формуле sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 иногда забывают квадрат времени или множитель ½. Такие ошибки меняют размерность и численный результат. Полезно отдельно вычислить каждое слагаемое и проверить единицы: оба должны быть в метрах.

Формулы равноускоренного движения нельзя применять автоматически. Они требуют прямолинейного движения и постоянного ускорения. Если ускорение меняется, выясните его закон зависимости от времени и выберите другой способ решения.

Связь с другими темами

До изучения перемещения нужно уметь находить ускорение и пользоваться формулой скорости при постоянном ускорении. Также необходимы правила выбора оси и определения знаков проекций.

Эти формулы применяются в задачах на торможение, свободное падение и движение под действием постоянной силы. В последнем случае постоянная сила может создавать постоянное ускорение.

Тема связывает формулы кинематики с графиками координаты, скорости и ускорения. По наклону графика координаты можно судить о скорости, а по наклону графика скорости — об ускорении.

Что запомнить

• При прямолинейном равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Проекция скорости изменяется по закону vₓ = v₀ₓ + aₓt.
• Проекция перемещения равна sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2.
• Также sₓ = (v₀ₓ + vₓ)t/2.
• Без времени можно использовать vₓ² − v₀ₓ² = 2aₓsₓ.
• Знаки проекций определяются выбранным положительным направлением оси.