"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
График зависимости скорости от времени показывает, как меняется скорость тела с течением времени. По горизонтальной оси откладывают время, по вертикальной — скорость в выбранный момент. Наклон графика помогает определить ускорение, а площадь под ним — перемещение. Такой график позволяет увидеть равномерное и равноускоренное движение, момент остановки и возможную смену направления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График зависимости скорости от времени — это изображение того, как скорость v меняется с течением времени t. В каждой точке графика координата по вертикали показывает скорость в соответствующий момент. Такой график нужен, чтобы быстро определить характер движения и выполнить расчёты.
Мгновенная скорость — значение скорости, соответствующее конкретному моменту времени на графике. Чтобы найти её, проводят мысленно вертикаль от нужного значения t до графика и считывают координату по оси v. Это позволяет узнать не среднюю скорость за интервал, а состояние движения именно сейчас.
Ускорение — быстрота изменения скорости: a = Δv / Δt. На графике v(t) ускорение показывает наклон участка: чем больше изменение скорости за одинаковое время, тем больше его модуль. Знак ускорения указывает, растёт или уменьшается скорость в выбранном направлении.
Перемещение — направленная величина, которую можно определить по площади под графиком скорости с учётом знака. Площадь выше оси времени считают положительной, а ниже — отрицательной. Это помогает отличить перемещение от пути, который складывают без учёта направления.
Время откладывают по горизонтальной оси, потому что оно задаёт последовательность событий: сначала один момент, затем другой. Скорость зависит от времени, поэтому её откладывают по вертикали. Любая точка с координатами t и v описывает движение в конкретный момент: по горизонтали читаем, когда это происходит, а по вертикали — с какой скоростью.
Горизонтальный участок означает, что при увеличении времени координата v не меняется. Следовательно, тело движется с постоянной скоростью, а ускорение равно нулю. Если прямой участок наклонён вверх или вниз, скорость за равные промежутки времени изменяется на одинаковую величину, поэтому движение является равноускоренным или равнозамедленным.
Ускорение находят по наклону: a = (v₂ − v₁) / (t₂ − t₁). Восходящий участок имеет положительный наклон и положительное ускорение, нисходящий — отрицательный наклон и отрицательное ускорение. Чем круче линия, тем больше изменение скорости за ту же единицу времени, а значит, больше модуль ускорения.
На малом интервале времени перемещение примерно равно произведению скорости на время: Δs = vΔt. Геометрически это площадь узкого прямоугольника под графиком, а сумма таких прямоугольников даёт всю площадь. Поэтому для прямоугольника используют S = vΔt, для треугольника S = ½bh, а для трапеции S = ½(v₁ + v₂)Δt.
Ось времени соответствует значению v = 0. В точке пересечения графика с этой осью тело мгновенно останавливается, но само по себе пересечение ещё не всегда означает смену направления. Если график переходит из области положительных скоростей в отрицательную или наоборот, направление меняется; если лишь касается оси и возвращается назад, направление может сохраниться.
Сначала определите положение участка относительно оси времени, затем оцените его наклон. Для перемещения разбивайте сложный график на простые фигуры и складывайте их площади со знаками. Для пути берите модули площадей, а среднюю скорость в задачах на перемещение находите как отношение полного перемещения ко всему времени.
| Характер движения | Вид участка графика v(t) | Ускорение | Перемещение за интервал времени | Что происходит с направлением движения |
|---|---|---|---|---|
| Покой | Совпадает с осью времени: v = 0 | a = 0 | Равно нулю | Тело не движется |
| Равномерное движение с положительной скоростью | Горизонтальная линия выше оси времени | a = 0 | Положительно: S = vΔt | Направление не меняется |
| Равноускоренное движение | Прямая с положительным наклоном | a > 0 | Площадь трапеции или сумма простых фигур | Скорость в положительном направлении растёт |
| Равнозамедленное движение до остановки | Прямая, спускающаяся к оси времени | a < 0 | Положительно до момента остановки | Тело замедляется, но направление сохраняет |
| Движение с отрицательной скоростью | Участок ниже оси времени | Зависит от наклона | Отрицательно | Тело движется против выбранного положительного направления |
| Переход через v = 0 и смена направления | График пересекает ось времени | Обычно ненулевое | Площади до и после оси имеют разные знаки | Направление меняется |
По графику видно, что при t = 2 с скорость равна 4 м/с, а при t = 5 с — 2 м/с. Между 0 и 2 с тело движется с постоянной скоростью 4 м/с, затем скорость линейно уменьшается до 2 м/с. Найдём среднюю скорость как отношение перемещения ко всему времени.
Ответ: v(2 с) = 4 м/с, v(5 с) = 2 м/с, средняя скорость по перемещению равна 3,4 м/с.
Скорость линейно возрастает от 2 м/с до 8 м/с за 3 с. Прямой участок означает постоянное ускорение, а площадь под ним имеет форму трапеции. Поэтому одновременно используем наклон графика и формулу площади трапеции.
Ответ: ускорение 2 м/с², перемещение 15 м.
Первые 4 с скорость постоянна и равна 6 м/с. Затем тело за 3 с равномерно тормозит до нуля, а после остановки за 2 с достигает скорости −4 м/с. Разобьём график на три участка и отдельно посчитаем перемещение и путь.
Ответ: перемещение 29 м, пройденный путь 37 м.
Оси часто путают и откладывают время по вертикали. Так происходит, если ученик смотрит только на форму линий, а не на обозначения; проверьте, что на горизонтальной оси стоит t, а на вертикальной — v.
Наклон графика иногда принимают за скорость. На графике v(t) сама скорость задаётся вертикальной координатой, а наклон показывает ускорение; для проверки вычислите Δv / Δt.
Путь находят как обычную площадь, не замечая отрицательных участков. Для перемещения площади складывают со знаками, а для пути берут их модули; полезно сначала отметить ось v = 0.
Пересечение графика с осью времени могут пропустить. В этой точке скорость равна нулю, поэтому нужно проверить, пересекает ли график ось и переходит ли после этого в область противоположного знака.
До изучения графика нужно уметь читать координатные графики, различать скорость, путь и перемещение, а также правильно использовать единицы измерения. Тема напрямую связана с равноускоренным движением и задачами на перемещение, путь и среднюю скорость. Графики v(t) помогают анализировать движение автомобилей, поездов и других тел с изменяющейся скоростью.
Почему скорость откладывают по вертикальной оси, а время — по горизонтальной?
Время считают независимой величиной: движение развивается от одного момента к другому, поэтому его откладывают по горизонтали. Скорость зависит от времени, и её значение для каждого момента показывают по вертикали.
Как по графику скорости определить ускорение?
Нужно найти отношение изменения скорости к изменению времени: a = Δv / Δt. На графике это угловой коэффициент участка: a = (v₂ − v₁) / (t₂ − t₁).
Почему площадь под графиком равна перемещению?
На коротком интервале перемещение примерно равно vΔt, то есть площади узкого прямоугольника. Сумма таких площадей при уменьшении интервалов превращается в площадь под графиком, причём участки ниже оси времени дают отрицательный знак.
Чем отличаются путь и перемещение на графике v(t)?
Перемещение складывают со знаками: движение в выбранном положительном направлении положительно, а в противоположном — отрицательно. Путь равен сумме модулей площадей, поэтому он не уменьшается из-за смены направления.
Что означает пересечение графика с осью времени?
В точке пересечения скорость равна нулю, поэтому тело в этот момент остановлено. Если после пересечения график оказывается по другую сторону оси, тело меняет направление движения.
3. График зависимости скорости от времени
