"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
При прямолинейном равноускоренном движении скорость тела за равные промежутки времени изменяется одинаково. Зная начальную скорость и ускорение, можно найти перемещение за выбранное время — изменение координаты тела. Для этого используют формулы sₓ = v₀t + at²/2 и sₓ = (v₀ + v)t/2. Знак проекции зависит от выбора положительного направления оси, поэтому важно отличать перемещение от пути и учитывать направление ускорения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перемещение при прямолинейном движении — изменение координаты тела; на прямой оно равно разности конечной и начальной координат. Если координаты тела в начале и конце движения равны x₀ и x, то проекция перемещения sₓ = x − x₀. Эта величина помогает определить, насколько и в каком направлении изменилось положение тела, но не показывает длину всего пройденного пути.
Равноускоренное движение — движение с постоянным ускорением, при котором скорость изменяется на одинаковую величину за равные промежутки времени. Например, за каждую секунду скорость может увеличиваться на 2 м/с или уменьшаться на 2 м/с. Постоянство ускорения позволяет использовать одни и те же формулы на всём рассматриваемом промежутке времени.
Начальная скорость — скорость тела в выбранный начальный момент времени; её обозначают v₀. Этот момент принимают за начало отсчёта времени, поэтому в формулах время t отсчитывается именно от него. Знание v₀ нужно, чтобы учесть, что тело могло двигаться ещё до начала рассматриваемого интервала, а не обязательно стартовать из покоя.
Перемещение за время t — векторная величина, проекция которой на ось движения обозначается sₓ. Вектор перемещения направлен от начального положения к конечному, а его проекция может быть отрицательной или положительной. Для вычислений вдоль прямой используют проекции величин на выбранную ось: например, a — проекцию ускорения, а v₀ — проекцию начальной скорости.
Сначала выбирают ось вдоль прямой движения и задают её положительное направление. Сам выбор произволен: можно направить ось по движению тела или против него. Но после выбора знаки проекций скорости, ускорения и перемещения должны соответствовать направлениям векторов относительно этой оси. Благодаря этому формулы для движения вдоль прямой можно записывать без отдельных случаев для разных направлений.
При постоянном ускорении скорость за время t изменяется от начального значения v₀ до значения v = v₀ + at. Это следует из определения ускорения: оно показывает, на сколько меняется скорость за единицу времени. Проекция a может быть отрицательной, поэтому скорость в выбранном направлении способна как увеличиваться, так и уменьшаться. Формула описывает изменение скорости, но сама по себе ещё не сообщает, какое расстояние прошло тело.
Средняя скорость при равноускоренном движении равна полусумме начальной и конечной скоростей. Причина в том, что скорость меняется равномерно: за равные интервалы времени её приращения одинаковы, а график скорости от времени представляет прямую. Среднее значение на таком интервале находится посередине между начальным и конечным значениями: vср = (v₀ + v)/2. Это рассуждение применимо, когда ускорение постоянно на всём интервале.
Проекция перемещения за время t равна произведению средней скорости на время: sₓ = (v₀ + v)t/2. Подставим в эту запись формулу конечной скорости v = v₀ + at: получим sₓ = (2v₀ + at)t/2, то есть sₓ = v₀t + at²/2. Множитель 1/2 появляется из усреднения линейно меняющейся скорости. Оба выражения дают один результат, но для вычислений удобнее выбрать формулу с теми величинами, которые известны.
Если ускорение направлено противоположно скорости, тело замедляется: например, при движении вдоль положительной оси скорость положительна, а ускорение отрицательно. Тогда слагаемое at²/2 уменьшает проекцию перемещения по сравнению с движением без ускорения. Если тело за рассматриваемый интервал не успело остановиться и развернуться, его перемещение всё ещё направлено вперёд. Если же скорость успела изменить направление, необходимо отдельно учитывать участки движения до и после разворота, особенно при нахождении пути.
| Величина или связь | Обозначение и формула | Что важно учитывать |
|---|---|---|
| Начальная скорость | v₀ | Скорость в начальный момент отсчёта времени; её проекция имеет знак. |
| Ускорение | a | При постоянном ускорении проекция a не меняется; знак задаётся направлением относительно оси. |
| Скорость через время t | v = v₀ + at | v — проекция скорости через время t; ускорение берётся со знаком. |
| Проекция перемещения через начальную скорость и ускорение | sₓ = v₀t + at²/2 | Подходит, если известны v₀, a и t. |
| Проекция перемещения через начальную и конечную скорости | sₓ = (v₀ + v)t/2 | Подходит, если известны обе скорости и время; скорости записывают как проекции. |
| Единицы измерения и знаки проекций | v — м/с; a — м/с²; t — с; sₓ — м | Знаки величин зависят от выбора оси; единицы в вычислениях должны быть согласованы. |
Сначала установите, какие величины даны, и выберите формулу, в которой есть эти данные и искомое перемещение. Затем проверьте направление оси и знаки проекций, особенно при торможении. В конце убедитесь, что результат выражен в метрах: слагаемые v₀t и at² имеют именно такую размерность.
Задача 1. Тело движется прямолинейно с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 2 м/с². Найти проекцию перемещения за 4 с. Положительное направление выберем по движению, поэтому обе данные проекции положительны. Используем формулу, в которой заданы начальная скорость, ускорение и время.
Ответ: проекция перемещения равна 28 м. Положительный знак согласуется с тем, что тело движется в выбранном положительном направлении и ускоряется туда же.
Задача 2. Автомобиль движется со скоростью 20 м/с и начинает равномерно тормозить с ускорением −4 м/с². Найти перемещение за 3 с. Ось направим вперёд, по движению автомобиля: начальная скорость положительна, а ускорение при торможении отрицательно. За 3 с скорость ещё не успевает стать отрицательной, поэтому автомобиль всё время движется вперёд.
Ответ: перемещение автомобиля равно 42 м вперёд. Отрицательное ускорение здесь не означает движение назад: оно показывает, что скорость, направленная вперёд, уменьшается.
Задача 3. Тело за 5 с увеличило скорость с 4 м/с до 14 м/с. Найти перемещение за это время и путь, если тело всё время двигалось в одном направлении. Скорости даны как значения в направлении движения, поэтому проекции обе положительны. Ускорение отдельно находить не нужно: начальная и конечная скорости уже известны, а средняя скорость при равноускоренном движении равна их полусумме.
Ответ: проекция перемещения равна 45 м, путь также равен 45 м. Равенство получилось благодаря условию, что тело всё время двигалось в одном направлении.
Перемещение и путь считают одним и тем же. Эту ошибку допускают, потому что при движении в одну сторону по прямой численные значения совпадают, однако при развороте путь продолжает накапливаться, а перемещение определяется только начальным и конечным положениями. Чтобы проверить себя, выясните, меняло ли тело направление; если да, путь может быть больше модуля перемещения. Проекция перемещения при этом может быть отрицательной, а путь — нет.
В формулу подставляют модуль ускорения вместо его проекции. Так часто поступают, потому что ускорение называют числом, не учитывая его направление, но знак определяет, увеличивается или уменьшается скорость вдоль выбранной оси. Перед вычислениями нарисуйте ось и отметьте направления скорости и ускорения. Если при торможении оба знака оказались одинаковыми, проверьте выбор оси и запись данных.
Забывают множитель 1/2 в слагаемом at²/2. При этом перемещение ошибочно считают так, будто скорость всё время менялась с постоянной добавкой, не усредняя её изменение за весь интервал. Множитель возникает потому, что средняя скорость при линейном изменении равна полусумме начальной и конечной. Проверить формулу можно выводом из sₓ = (v₀ + v)t/2 и v = v₀ + at.
Формулу равноускоренного движения применяют, когда ускорение меняется. Её вывод предполагает постоянное ускорение: только тогда скорость линейно зависит от времени и среднее значение находится как полусумма крайних скоростей. Прочитайте условие и проверьте, сказано ли, что ускорение постоянно на рассматриваемом промежутке. Если оно меняется, приведённых формул может быть недостаточно для решения.
Для работы с перемещением нужны понятия координаты, скорости и ускорения, а также умение находить проекции векторов на ось. Координаты позволяют определить изменение положения, скорость описывает изменение координаты со временем, а ускорение — изменение скорости. Правильно выбранная ось связывает эти величины в одной системе знаков.
Формула перемещения применяется в задачах на разгон и торможение, когда нужно найти, насколько изменилось положение тела за заданное время. Она также связывает расчёты с графиком скорости: перемещение можно определить по средней скорости или по площади под графиком v(t). Те же формулы используются при изучении свободного падения, если сопротивлением воздуха пренебрегают и ускорение считают постоянным.
Почему в формуле перемещения появляется множитель 1/2?
При постоянном ускорении скорость изменяется линейно, поэтому её среднее значение за промежуток равно полусумме начальной и конечной скоростей. Перемещение равно средней скорости, умноженной на время: sₓ = (v₀ + v)t/2. После подстановки v = v₀ + at получается член at²/2.
Как выбрать положительное направление оси?
Ось направляют вдоль прямой движения и выбирают положительное направление произвольно, например по первоначальному движению тела. После выбора все проекции скорости, ускорения и перемещения записывают согласованно. Если вектор направлен против положительного направления, его проекция будет отрицательной.
Может ли проекция перемещения быть отрицательной?
Да. Это означает, что конечное положение тела находится в отрицательном направлении оси относительно начального. Отрицательная проекция не означает отрицательную длину пути.
Чем перемещение отличается от пути?
Перемещение показывает, как изменилось положение тела, и зависит только от начальной и конечной координат. Путь — длина всей пройденной траектории, поэтому он не бывает отрицательным. Если тело всё время движется в одном направлении по прямой, путь равен модулю перемещения.
Как определить знак ускорения при торможении?
Сначала выберите положительное направление оси и определите направление скорости. При торможении ускорение направлено противоположно скорости, поэтому его проекция имеет противоположный знак. Например, если автомобиль движется вперёд по положительной оси, ускорение при торможении отрицательно.
§ 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении
