1. Нахождение пути по графику зависимости скорости от времени

Определения и обозначения

Путь — длина траектории, пройденной телом; его обозначают буквой s, и он не бывает отрицательным. Это величина, которая показывает, сколько всего прошло тело, независимо от направления движения. Для нахождения пути по графику важно учитывать движение за весь рассматриваемый промежуток времени.

График зависимости скорости от времени показывает, как меняется скорость тела в каждый момент. Время обычно откладывают по горизонтальной оси, а скорость — по вертикальной. По точке графика можно узнать, какой была скорость в соответствующий момент, а по его форме — как она изменялась.

Площадь под графиком скорости — площадь фигуры между графиком, осью времени и выбранными моментами времени; численно она равна пройденному пути. Это позволяет заменить описание меняющейся скорости геометрической задачей на вычисление площади. Границы промежутка нужно выбирать по времени, за которое требуется найти путь.

Равномерное движение — движение с постоянной скоростью; ему соответствует горизонтальный отрезок на графике скорости от времени. Высота этого отрезка показывает скорость, а его протяжённость по горизонтали — время движения. Поэтому фигура под ним является прямоугольником, площадь которого сразу даёт путь.

Как это устроено

На графике скорости от времени время откладывают по горизонтальной оси, а скорость — по вертикальной. Такое расположение удобно: движение идёт слева направо по времени, а высота графика показывает значение скорости в каждый момент. Поэтому координаты любой точки позволяют прочитать пару значений: момент времени и соответствующую ему скорость.

За небольшой промежуток времени, когда скорость почти не меняется, путь можно считать произведением скорости на длительность промежутка. Геометрически это прямоугольник: его ширина равна промежутку времени, а высота — скорости. Поскольку путь за маленькие интервалы складывается, такие узкие прямоугольники вместе заполняют область под графиком.

Если скорость меняется, высота этих прямоугольников уже не одинакова, поэтому нельзя умножить одну скорость на всё время. Вместо этого рассматривают всю фигуру под графиком и находят её площадь. На прямолинейных участках графика область часто складывается из простых фигур: прямоугольников, треугольников или трапеций, площади которых можно вычислить отдельно.

Связь площади и пути подтверждают единицы измерения. По вертикали отложена скорость, например метры в секунду, а по горизонтали — время, например секунды. При умножении единиц получается (м/с) · с = м, то есть единица длины, в которой измеряют путь.

Если график составлен из нескольких участков, границы между ними делят всё время движения на отдельные промежутки. На каждом промежутке определяют свою фигуру и вычисляют её площадь, затем складывают результаты. Так учитывается весь путь, даже если тело сначала разгонялось, потом двигалось равномерно, а после замедлялось.

На графике скорость неотрицательна, поэтому площадь под ним не меняет знак и соответствует пути. Чтобы не потерять часть движения, нужно начинать и заканчивать расчёт в тех моментах времени, о которых говорится в задаче. Если график пересекает границы нескольких фигур, его удобно мысленно разбить на более простые части.

Например, на графике, где скорость растёт от нуля до 4 м/с за первые 2 с, остаётся постоянной до 5 с, а затем за 2 с падает до нуля, область состоит из треугольника, прямоугольника и ещё одного треугольника. Временные границы участков сразу показывают ширину фигур, а отметка 4 м/с — их высоту. Сложив площади, получим путь за все 7 с.

Как найти путь по виду графика скорости

Сначала определите форму фигуры под графиком и измерьте её размеры по осям. Затем примените соответствующую формулу площади; если участок сложный, разбейте его на простые фигуры. Таблица помогает быстро выбрать способ расчёта, но в каждой задаче всё равно нужно следить за единицами.

Разбор задач

Задача 1. Тело движется со скоростью 3 м/с в течение 5 с. Изобразите график скорости и найдите путь.

1. Постоянная скорость означает, что на всём интервале график будет горизонтальным отрезком на уровне 3 м/с.
2. По горизонтальной оси отложите время от 0 до 5 с, а по вертикальной отметьте скорость 3 м/с. Под графиком получается прямоугольник шириной 5 с и высотой 3 м/с.
3. Найдите площадь прямоугольника: s = vt = 3 м/с · 5 с = 15 м.

Ответ: график — горизонтальный отрезок при v = 3 м/с от t = 0 до t = 5 с; путь равен 15 м. Проверка единиц даёт метры, как и должно быть для пути.

Задача 2. Скорость тела равномерно возрастает от 0 до 8 м/с за 4 с. Найдите путь за это время.

1. Изобразите скорость от нуля до 8 м/с за 4 с прямым восходящим отрезком. Между этим отрезком и осью времени находится треугольник с основанием 4 с и высотой 8 м/с.
2. Путь равен площади треугольника, то есть половине произведения основания на высоту: s = ½ · 4 с · 8 м/с.
3. Вычислите: s = 16 м. Деление на два учитывает, что скорость возрастала постепенно, а не всё время была равна 8 м/с.

Ответ: 16 м. Площадь под графиком имеет единицы (м/с) · с, поэтому результат выражен в метрах.

Задача 3. В первые 3 с тело равномерно разгоняется от 0 до 6 м/с, затем 4 с движется с постоянной скоростью 6 м/с. Найдите весь путь.

1. Разделите график в момент времени 3 с: в первой части под наклонным отрезком будет треугольник, во второй под горизонтальным — прямоугольник.
2. На разгоне основание треугольника равно 3 с, высота — 6 м/с. Путь на первом участке: s₁ = ½ · 3 с · 6 м/с = 9 м.
3. На втором участке скорость 6 м/с сохраняется 4 с. Путь там равен площади прямоугольника: s₂ = 6 м/с · 4 с = 24 м.
4. Сложите пути по двум участкам: s = s₁ + s₂ = 9 м + 24 м = 33 м.

Ответ: весь путь равен 33 м. Разбиение помогает учесть и постепенный разгон, и дальнейшее равномерное движение.

Типичные ошибки

При изменяющейся скорости иногда берут скорость в конце интервала и умножают её на всё время. Так поступать нельзя: тело не двигалось с конечной скоростью на протяжении всего интервала. Ошибка возникает, когда не учитывают наклон графика; проверьте себя, сравнив расчёт с площадью под ним.

Другая ошибка — не проверять единицы площади. Например, скорость в м/с нельзя считать площадью без умножения на время; после расчёта должны получиться метры или другая единица длины. Если итоговые единицы остаются м/с либо получаются м², значит, фигуру или величины использовали неверно.

Площадь между графиком и осью времени иногда путают с подписанной площадью, которая может быть отрицательной, если график находится ниже оси. Здесь рассматривается модуль скорости, то есть неотрицательная величина, и путь не может стать отрицательным. Для проверки убедитесь, что график соответствует скорости, а не иной величине с возможным отрицательным значением.

На составном графике можно учесть только один участок или сложить значения скорости вместо площадей. Обычно это происходит, если не отметить границы временных промежутков и не определить фигуру на каждом из них. Разбейте график на участки, найдите путь на каждом и сложите полученные величины в метрах.

Связь с другими темами

Для работы с графиком нужны умения читать координаты и находить площади прямоугольника и треугольника. Основа метода — связь пути, скорости и времени: при постоянной скорости она записывается как s = vt. Площадной способ развивает эту связь и позволяет учитывать изменение скорости.

Умение находить путь по графику помогает сравнивать разные участки движения, даже если скорость на них неодинакова. Оно также подготавливает к анализу более сложных графиков движения: фигуру под линией можно разбивать на части и складывать результаты. Так геометрическое чтение графика превращается в способ решать физические задачи.

Что запомнить

• Путь находят по графику скорости от времени.
• Путь на промежутке равен площади под графиком скорости.
• Для постоянной скорости путь равен площади прямоугольника: s = vt.
• Для линейного изменения скорости площадь под графиком часто является треугольником или трапецией.
• На составном графике складывают площади отдельных участков.
• Единица площади под графиком — единица скорости, умноженная на единицу времени.