1. Свободное падение тела

Определения и обозначения

Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести. Сопротивлением воздуха пренебрегают, когда оно мало по сравнению с силой тяжести, например для компактного тела на небольшой скорости. Это упрощение позволяет описывать падение одними и теми же формулами, не учитывая свойства воздуха и форму тела. В реальности модель подходит не для каждого движения вниз.

Ускорение свободного падения — ускорение тела при свободном падении; у поверхности Земли оно направлено вертикально вниз. Ускорение показывает, как быстро меняется скорость и в какую сторону происходит это изменение. Для разных тел в одном месте его значение одинаково, если влиянием воздуха можно пренебречь. Это помогает сравнивать движение тел независимо от их массы.

Модуль ускорения свободного падения обозначают буквой g, у поверхности Земли он приблизительно равен 9,8 м/с². Модуль — это значение величины без учёта направления, поэтому g записывают положительным числом. Направление учитывают отдельно, задавая проекцию ускорения на выбранную ось. Единица м/с² означает, что скорость изменяется на 9,8 м/с за каждую секунду.

Как это устроено

Сила тяжести больше у тела большей массы, но одновременно большая масса означает большую инертность — сопротивление изменению скорости. По второму закону Ньютона ускорение равно силе, делённой на массу; для силы тяжести это отношение равно g. Масса сокращается, поэтому тела получают одинаковое ускорение, если рядом с ними нет заметного сопротивления воздуха. Перо и камень в воздухе падают по-разному именно из-за сопротивления, а не из-за разного значения g.

Для расчётов вертикального движения выбирают ось и начало отсчёта: например, ось направляют вверх, а ноль помещают в точку броска. Координата показывает положение относительно нуля, скорость — направление перемещения, а ускорение — направление изменения скорости. Если ось направлена вверх, движение вниз имеет отрицательные проекции скорости и ускорения; при оси вниз эти знаки будут положительными. Начало отсчёта меняет координаты, но не меняет физическое движение тела.

При постоянном ускорении за время t скорость меняется на величину at, поэтому v = v₀ + at. За то же время тело проходит путь, который складывается из движения с начальной скоростью и добавки из-за ускорения: y = y₀ + v₀t + at²/2. При свободном падении проекция a равна g или −g — в зависимости от направления оси. Эти формулы связывают положение и скорость с временем, если ускорение постоянно.

У брошенного вертикально вверх тела в начале скорость направлена вверх, однако сила тяжести действует вниз. Поэтому при оси вверх v₀ положительна, а ускорение равно −g: скорость постепенно уменьшается, затем тело начинает опускаться. В верхней точке скорость равна нулю только мгновенно, а ускорение остаётся направленным вниз. Такая смена направления скорости не означает смену направления силы или ускорения.

Формула координаты позволяет узнать положение тела в заданный момент, а формула скорости — как быстро и в какую сторону оно движется. По графику координаты от времени наклон показывает скорость: чем он круче, тем больше её модуль; горизонтальный участок означает нулевую скорость. На графике скорости при постоянном ускорении получается прямая, наклон которой связан с ускорением. Подставляя координату земли или условие v = 0, можно находить время падения, скорость удара и высоту подъёма.

Формулы движения при свободном падении

Сначала выберите направление оси, а затем запишите проекции начальной скорости и ускорения с нужными знаками. Для падения без начальной скорости формулы с h и модулем скорости удобны, когда требуется только путь или численное значение скорости. В задачах на бросок вверх используйте уравнения проекций: так проще не перепутать направление ускорения.

Разбор задач

Скорость падающего тела через заданное время

Тело отпустили без начальной скорости, и требуется найти его скорость через 2 с. Выберем ось вертикально вниз: тогда ускорение и скорость направлены вдоль положительного направления, а начальная скорость равна нулю. Такая договорённость избавляет от отрицательных знаков, но результат будет проекцией на ось вниз. Если бы ось направили вверх, проекция скорости получилась бы отрицательной.

1. Запишем данные: v₀ = 0, a = g = 9,8 м/с², t = 2 с.
2. Используем формулу постоянного ускорения: v = v₀ + at.
3. Подставим значения: v = 0 + 9,8 · 2 = 19,6 м/с.

Ответ: скорость равна 19,6 м/с вниз. Число положительное, потому что ось направлена вниз. При выборе оси вверх ответ для проекции был бы −19,6 м/с, но модуль скорости остался бы тем же.

Время падения с известной высоты

Камень падает без начальной скорости с высоты 19,6 м. Нужно найти время до земли и скорость перед ударом; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Направим ось вниз, а начало координат поместим в точку, откуда отпустили камень. Тогда путь до земли равен h, а ускорение и скорость положительны.

1. Используем уравнение падения из состояния покоя: h = gt²/2.
2. Выразим время: t = √(2h/g) = √(2 · 19,6 / 9,8) = √4 = 2 с.
3. Найдём скорость перед ударом: v = gt = 9,8 · 2 = 19,6 м/с.

Ответ: камень падает 2 с, скорость перед ударом равна 19,6 м/с вниз. Сначала нашли время из известной высоты, поскольку оно не было задано. Затем вычислили скорость за это время; она направлена вниз, как и выбранная ось.

Мяч, брошенный вертикально вверх

Мяч бросили вверх со скоростью 19,6 м/с; найдём максимальную высоту над местом броска и время возвращения на этот уровень. Направим ось вверх и возьмём начало координат в точке броска: v₀ = 19,6 м/с, a = −g. В верхней точке скорость равна нулю, поэтому из уравнения скорости можно найти время подъёма. При возвращении на исходный уровень время спуска такое же, как время подъёма.

1. В верхней точке v = 0, поэтому 0 = v₀ − gt и tпод = v₀/g = 19,6/9,8 = 2 с.
2. Подставим время подъёма в уравнение координаты: H = v₀tпод − gtпод²/2 = 19,6 · 2 − 9,8 · 4/2 = 19,6 м.
3. Полное время до возвращения на уровень броска: t = 2tпод = 4 с.

Ответ: максимальная высота подъёма — 19,6 м, время возвращения — 4 с. Ускорение в расчёте всё время отрицательно, поскольку направлено против выбранной оси. В верхней точке нулевой становится скорость, а не ускорение.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать ускорение равным нулю в верхней точке. Там на мгновение исчезает скорость, но сила тяжести продолжает действовать, поэтому ускорение остаётся направленным вниз. Путаница возникает, когда скорость и ускорение считают одной и той же характеристикой движения. Проверьте себя: нулевая скорость не означает, что скорость перестала изменяться.

Вторая ошибка — менять ускорение на направленное вверх, когда тело летит вверх. Иногда направление скорости принимают за направление ускорения, хотя они могут не совпадать. Сила тяжести весь полёт направлена вниз, следовательно, туда же направлено ускорение. Чтобы проверить знак, сначала нарисуйте ось, а затем определите направление проекции ускорения.

Третья ошибка — подставлять g со знаком, не учитывая ось. Сам модуль g положителен, а знак проекции зависит от выбора направления координатной оси: например, при оси вверх a = −g. Ошибку допускают, смешивая модуль вектора и его проекцию. Проверка проста: укажите ось и сопоставьте знак ускорения с его направлением.

Четвёртая ошибка — называть свободным падением любое движение вниз. Если заметно сопротивление воздуха или на тело действуют другие силы, ускорение может отличаться от g. Такое упрощение часто принимают автоматически, не оценивая условия задачи. Проверьте, сказано ли, что сопротивлением можно пренебречь; иначе нужно учитывать дополнительные силы.

Связь с другими темами

Для изучения свободного падения нужны координата, перемещение, скорость и ускорение, а также умение находить проекции векторов на ось. Эти понятия помогают записывать движение так, чтобы направление каждой величины было учтено знаками. Тема опирается на формулы движения с постоянным ускорением. Позже она пригодится при изучении законов Ньютона и движения тел в поле тяготения.

Что запомнить

• При свободном падении учитывают только действие силы тяжести.
• У поверхности Земли модуль ускорения свободного падения примерно равен 9,8 м/с².
• Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз и не меняется при движении тела вверх.
• При отсутствии сопротивления воздуха тела разной массы падают с одинаковым ускорением.
• Знаки координаты, скорости и ускорения зависят от выбора оси.
• В верхней точке вертикального броска скорость равна нулю, а ускорение — нет.