2. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Определения и обозначения

Вертикальный бросок вверх — движение тела, которому сообщают начальную скорость, направленную вертикально вверх. После броска на тело действует сила тяжести, если сопротивлением воздуха пренебречь. Это упрощённое описание помогает применять законы равноускоренного движения.

Ускорение свободного падения — ускорение тела под действием силы тяжести; его обозначают g и направляют вниз. В задачах обычно используют g = 9,8 м/с² или округляют до 10 м/с². Выбор значения нужен для вычислений и не меняет направление ускорения.

Время подъёма — промежуток от начала движения до достижения наивысшей точки. В этой точке скорость равна нулю: тело перестаёт подниматься, прежде чем начать падать. Это условие позволяет найти длительность подъёма по формуле скорости.

Максимальная высота подъёма — наибольшее расстояние по вертикали от точки броска до наивысшей точки траектории. Она не обязательно равна высоте над землёй, если бросок начался не у поверхности. Эта величина показывает, насколько высоко тело поднимется относительно места старта.

Как это устроено

Для описания движения выберем вертикальную ось, направленную вверх, а точку броска примем за начало координат. Тогда начальная скорость v₀ положительна, поскольку направлена вдоль оси, а ускорение a = −g: оно направлено вниз, против положительного направления. Знаки нужны не для изменения физического движения, а чтобы правильно записать направления величин в формулах. При другом выборе оси знаки изменятся, но результат задачи останется тем же.

Во время подъёма скорость направлена вверх, а ускорение силы тяжести — вниз. Поэтому за каждую секунду скорость уменьшается на g м/с, пока тело поднимается; в формулах это выражает зависимость v = v₀ − gt. Скорость меняется линейно, потому что ускорение постоянно. Тело не останавливается сразу после броска: оно продолжает двигаться вверх, пока имеющаяся скорость не уменьшится до нуля.

Чтобы найти время подъёма, используем формулу скорости v = v₀ − gt и условие v = 0 в наивысшей точке. Из равенства 0 = v₀ − gt получаем tₚ = v₀/g. Например, при начальной скорости 20 м/с и g = 10 м/с² подъём длится 2 с. Эта формула описывает время до вершины, а не обязательно весь полёт.

Координата тела меняется по формуле h = v₀t − gt²/2, если точка броска выбрана за начало отсчёта. В начале высота растёт, потому что начальная скорость направлена вверх; затем влияние ускорения становится всё заметнее, и тело достигает максимума. После вершины координата уменьшается, поскольку тело падает. График h(t) имеет форму параболы, ветви которой направлены вниз.

Максимальную высоту можно найти, подставив tₚ = v₀/g в формулу координаты: получается hₘₐₓ = v₀²/(2g). Есть и другой путь — использовать связь скорости и перемещения v² = v₀² − 2gh. В верхней точке v = 0, поэтому сразу получаем ту же формулу высоты. Второй способ удобен, когда время подъёма не требуется находить.

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Сравнивайте направление скорости с направлением ускорения: это помогает понять, растёт модуль скорости или уменьшается. При оси вверх знак скорости показывает направление движения, а ускорение на всех этапах остаётся отрицательным. В таблице высота отсчитывается от точки броска.

Разбор задач

1. Тело бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Найдите время подъёма, принимая g = 10 м/с².

Ищем промежуток от броска до наивысшей точки, где скорость равна нулю. Направим ось вверх, поэтому v₀ = 10 м/с, а ускорение a = −10 м/с². Используем зависимость скорости от времени.

1. Записываем формулу: v = v₀ − gt.
2. В верхней точке v = 0, поэтому 0 = 10 − 10t.
3. Отсюда t = 1 с.

Ответ: время подъёма равно 1 с. Проверка показывает, что за эту секунду скорость уменьшается на 10 м/с и становится нулевой.

2. Мяч бросили вверх со скоростью 20 м/с. Определите максимальную высоту подъёма при g = 10 м/с².

Максимальную высоту отсчитываем от места броска, а ось направляем вверх. Можно сначала найти время подъёма, а затем координату в этот момент. Такой путь показывает, как связаны длительность подъёма и достигнутая высота.

1. Находим время: tₚ = v₀/g = 20/10 = 2 с.
2. Подставляем его в h = v₀t − gt²/2: h = 20 · 2 − 10 · 2²/2.
3. Вычисляем: h = 40 − 20 = 20 м.

Ответ: максимальная высота подъёма — 20 м. Её можно проверить по формуле hₘₐₓ = v₀²/(2g): 400/20 = 20 м.

3. Камень бросили вертикально вверх со скоростью 30 м/с с высоты 5 м над землёй. Найдите время до падения на землю и скорость перед ударом, если g = 10 м/с².

Выберем начало координат на земле и направим ось вверх. Тогда начальная координата y₀ = 5 м, начальная скорость v₀ = 30 м/с, а координата земли равна нулю. Уравнение движения имеет вид y = 5 + 30t − 5t²; удар происходит, когда y = 0.

1. Решаем 5 + 30t − 5t² = 0, или t² − 6t − 1 = 0.
2. Получаем t = 3 ± √10; отрицательный корень не подходит, поэтому t = 3 + √10 ≈ 6,16 с.
3. Находим скорость: v = 30 − 10t = −10√10 ≈ −31,6 м/с. Минус показывает, что перед ударом камень движется вниз.

Ответ: камень падает на землю примерно через 6,16 с, скорость перед ударом около −31,6 м/с. Её модуль равен примерно 31,6 м/с, а направление — вниз.

Типичные ошибки

Считать ускорение направленным вверх во время подъёма — ошибка: сила тяжести не меняет направление, когда тело летит вверх. Часто путают направление движения с направлением ускорения. Проверка: нарисуйте стрелку силы тяжести — она всегда направлена к Земле.

При оси вверх записывать ускорение как +g неверно: положительное направление выбрано вверх, а ускорение направлено вниз. Ошибку допускают, запоминая только число g и забывая о знаке проекции. Проверьте знак по оси до подстановки в формулы: здесь a = −g.

В наивысшей точке ускорение не равно нулю, хотя скорость там мгновенно обращается в ноль. Такое смешение возникает, если считать остановку тела отсутствием всякого движения. Проверка проста: пока тело находится в поле тяжести, сила тяжести действует и ускорение сохраняется.

Время подъёма не всегда равно времени всего полёта: равенство получается при возвращении на исходную высоту и пренебрежении сопротивлением воздуха. Его часто переносят на задачу, где тело падает на другой уровень. Проверьте координату приземления: если она отличается от начальной, времена подъёма и всего движения в общем случае не равны.

Связь с другими темами

Для решения задач о вертикальном броске нужно знать скорость, ускорение и формулы равноускоренного прямолинейного движения. Эти формулы применяются потому, что ускорение свободного падения считаем постоянным. Поэтому особенно важно уверенно задавать ось и определять знаки проекций.

Та же модель помогает изучать свободное падение: меняются начальные условия, но ускорение остаётся направленным вниз. При броске под углом движение рассматривают по вертикали и горизонтали отдельно. В задачах с несколькими участками полёта уравнения движения записывают для каждого участка, учитывая его начальные условия.

Что запомнить

• После броска ускорение тела направлено вниз и равно ускорению свободного падения.
• При оси, направленной вверх, ускорение равно −g.
• Скорость при подъёме линейно уменьшается.
• В наивысшей точке скорость равна нулю, а ускорение — нет.
• Без сопротивления воздуха время подъёма до максимальной высоты равно v₀/g.
• Максимальная высота относительно точки броска равна v₀²/(2g).
• При возвращении на исходную высоту модуль скорости равен начальному модулю скорости.

Как это устроено

График показывает, как меняется высота тела, брошенного со скоростью 20 м/с: вершина соответствует максимальной высоте, а пересечение с осью времени после подъёма — возвращению к уровню броска.