5. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Определения и обозначения

Вертикальный бросок вверх — движение тела, которому сообщают начальную скорость, направленную вертикально вверх. Эту скорость обозначают v₀, а время после броска — t. Такое описание помогает выделить начальное условие задачи и понять, в каком направлении тело движется сначала.

Ускорение свободного падения g — ускорение тела под действием силы тяжести; около поверхности Земли оно направлено вниз и по модулю примерно равно 9,8 м/с². В расчётах часто используют приближение g = 10 м/с². Эта величина нужна, чтобы определить, как быстро меняются скорость и положение тела.

Время подъёма — промежуток от начала движения до достижения наивысшей точки траектории. Его отсчитывают от момента броска, поэтому начальное время равно нулю. Эта величина показывает, сколько длится восходящая часть движения.

Максимальная высота подъёма — наибольшее расстояние тела от точки броска за время движения. Обозначают её hₘₐₓ; если начало координат выбрано в точке броска, она совпадает с максимальной координатой y. По ней можно сравнивать, насколько высоко поднимутся тела с разными начальными скоростями.

Как это устроено

Сначала выбирают вертикальную ось и обычно направляют её вверх, а начало отсчёта помещают в точку броска. Сила тяжести направлена вниз, то есть против положительного направления оси, поэтому проекция ускорения равна aᵧ = −g. Минус здесь не означает, что модуль ускорения отрицателен: он указывает только направление в выбранной системе координат.

Ускорение постоянно, поэтому за каждую секунду проекция скорости меняется на одну и ту же величину −g. Отсюда получается закон vᵧ = v₀ − gt: во время подъёма скорость направлена вверх, но её модуль постепенно уменьшается. Когда тело начинает опускаться, проекция скорости становится отрицательной, потому что направление движения уже противоположно оси.

На вершине траектории тело переходит от движения вверх к движению вниз. В этот короткий момент его скорость равна нулю, и именно поэтому в формуле vᵧ = v₀ − gt можно положить vᵧ = 0. Решение уравнения даёт время подъёма tпод = v₀/g; ускорение при этом не обнуляется, так как сила тяжести продолжает действовать.

Координату относительно точки броска находят по формуле y = v₀t − gt²/2. Первый член описывает перемещение, которое обеспечила бы начальная скорость, а второй учитывает действие направленного вниз ускорения. Сначала координата растёт, но после вершины начинает уменьшаться; подстановка времени подъёма приводит к формуле максимальной высоты hₘₐₓ = v₀²/(2g).

Без учёта сопротивления воздуха ускорение остаётся равным −g и на спуске, потому что сила тяжести не меняет направления. Если тело возвращается на исходный уровень, оно проходит такое же расстояние вниз, какое прошло вверх. Поэтому модуль скорости при возвращении равен v₀, хотя направление и знак проекции скорости противоположны.

График координаты показывает, как меняется высота тела: для примера с v₀ = 20 м/с и g = 10 м/с² вершина приходится на t = 2 с, а возвращение на уровень броска — на t = 4 с.

На графике скорости та же вершина видна там, где линия пересекает ось времени: vᵧ обращается в ноль, а затем становится отрицательной. Эти графики связаны: наклон графика скорости равен ускорению, а изменение координаты определяется скоростью.

Величины при вертикальном броске вверх

Сначала определите, на каком этапе находится тело, а затем сверьте знак скорости и изменение координаты. В таблице координата отсчитывается от точки броска, поэтому при возвращении на этот уровень y снова равна нулю. Если начало отсчёта выбрано иначе, координату нужно записывать с учётом этого выбора.

Разбор задач

Задача 1. Тело бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Найдите его скорость через 0,5 с, считая g = 10 м/с². Выберем ось вверх, поэтому начальная проекция скорости положительна, а проекция ускорения равна −g. Нужно найти проекцию скорости в заданный момент.

1. Запишем закон изменения скорости: vᵧ = v₀ − gt.
2. Подставим данные: vᵧ = 10 − 10 · 0,5 = 5 м/с.
3. Положительный результат означает, что тело ещё движется вверх.

Ответ: проекция скорости равна 5 м/с, направление — вверх.

Задача 2. Тело бросили вверх со скоростью 20 м/с. Найдём время подъёма и максимальную высоту при g = 10 м/с². В наивысшей точке скорость равна нулю, поэтому сначала используем это условие. Высоту затем можно вычислить по формуле для максимального подъёма.

1. Из 0 = v₀ − gt получаем tпод = v₀/g = 20/10 = 2 с.
2. Находим высоту: hₘₐₓ = v₀²/(2g) = 20²/(2 · 10) = 20 м.
3. Проверяем единицы: время выражено в секундах, высота — в метрах.

Ответ: время подъёма — 2 с, максимальная высота — 20 м.

Задача 3. Тело бросили вверх со скоростью 15 м/с с балкона высотой 20 м. Через какое время оно достигнет земли, если g = 10 м/с²? Здесь координату удобно отсчитывать от земли: начальная координата равна 20 м, а начальная скорость направлена вверх. Земля соответствует координате y = 0.

1. Записываем координату: y = 20 + 15t − 5t².
2. При достижении земли приравниваем её нулю: 20 + 15t − 5t² = 0, или t² − 3t − 4 = 0.
3. Корни уравнения: t = 4 с и t = −1 с. Отрицательное время не подходит, потому что отсчёт начинается в момент броска.

Ответ: тело достигнет земли через 4 с после броска.

Типичные ошибки

Записывают проекцию ускорения как +g при оси, направленной вверх. Так делают, путая направление движения тела с направлением силы тяжести. Проверьте знак по оси: ускорение направлено вниз, значит aᵧ = −g.

Считают, что в наивысшей точке ускорение тоже равно нулю. Ошибка возникает из-за того, что скорость там на мгновение исчезает, и эти две величины принимают за одно и то же. Проверьте отдельно: vᵧ = 0, но действие силы тяжести сохраняется и aᵧ = −g.

Полагают, что тело остановилось в верхней точке навсегда. На самом деле нулевой скорости соответствует только миг перехода от подъёма к спуску; постоянное ускорение вниз сразу изменяет скорость. Чтобы проверить рассуждение, посмотрите на знак vᵧ после этого момента: он становится отрицательным.

Подставляют высоту точки броска в формулу перемещения от этой точки. Причина — смешение координаты относительно земли и перемещения, отсчитанного от места старта. Перед вычислениями укажите начало координат: если оно в точке броска, y(0) = 0, а если на земле, начальная координата равна высоте броска.

Связь с другими темами

Для решения задач нужно уметь выбирать ось координат и записывать проекции перемещения, скорости и ускорения. Также нужны уравнения равноускоренного движения и понимание графиков координаты и скорости от времени. Эти знания связывают формулы с направлением реального движения.

Вертикальный бросок помогает разобраться со свободным падением: обе ситуации описываются действием силы тяжести, но отличаются начальными условиями. Те же идеи применяются к движению тела, брошенного под углом к горизонту, где вертикальную составляющую движения рассматривают отдельно. Навык выбора начала отсчёта пригодится и в других задачах на движение по вертикали.

Что запомнить

• При оси, направленной вверх, aᵧ = −g.
• Скорость меняется по закону vᵧ = v₀ − gt.
• Координата относительно точки броска: y = v₀t − gt²/2.
• В верхней точке vᵧ = 0, но aᵧ = −g.
• Время подъёма tпод = v₀/g.
• Максимальная высота hₘₐₓ = v₀²/(2g).
• При возвращении на уровень броска модуль скорости равен v₀, если сопротивлением воздуха пренебречь.