1. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Определения и обозначения

Вертикальный бросок вверх — движение тела, которому сообщают начальную скорость, направленную вертикально вверх. Начальную скорость обозначают v₀, а время после броска — t. Это описание помогает рассматривать подъём и последующее падение как единое движение.

Ускорение свободного падения — постоянное ускорение, направленное вниз и обозначаемое g. У поверхности Земли его значение примерно равно 9,8 м/с², но в школьных задачах часто используют g = 10 м/с². Эта величина показывает, как быстро меняется скорость тела под действием притяжения Земли.

Максимальная высота подъёма — наибольшая высота тела над уровнем броска, достигаемая при нулевой скорости. Её обозначают H; это именно изменение высоты от точки броска, а не обязательно высота над землёй. Понятие нужно, чтобы найти верхнее положение тела, не описывая каждый момент движения.

Время полёта — промежуток времени от момента броска до возвращения тела на исходный уровень. Его обозначают T, если рассматривают именно возвращение к уровню броска. Если тело стартовало выше земли и падает на землю, время до удара нужно находить отдельно.

Как это устроено

При подъёме скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения — вниз. Поэтому за каждую секунду скорость тела уменьшается примерно на 9,8 м/с, если не учитывать сопротивление воздуха. Скорость и ускорение направлены в противоположные стороны, из-за этого тело замедляется, хотя сила тяжести не исчезает.

Чтобы записать движение без путаницы со знаками, выбирают вертикальную ось и точку отсчёта. Если ось направлена вверх, а её начало находится на уровне броска, начальная координата равна нулю, начальная скорость положительна, а ускорение равно −g. При выборе оси вниз знаки изменились бы, но физическое движение осталось бы тем же.

Ускорение постоянно, поэтому применимы формулы равноускоренного движения: y = v₀t − gt²/2 и v = v₀ − gt. В первой формуле есть t²: высота меняется по квадратичному закону, потому что за равные промежутки времени тело проходит неодинаковые расстояния. Во второй формуле время входит в первой степени, так как скорость равномерно меняется под действием постоянного ускорения.

В верхней точке тело перестаёт подниматься и на мгновение имеет скорость, равную нулю. Но ускорение не становится нулевым: притяжение Земли продолжает действовать, и скорость начинает приобретать направление вниз. Именно поэтому остановка в верхнем положении мгновенная, а не длительная.

Без сопротивления воздуха подъём и спуск симметричны относительно верхней точки. На подъёме тело теряет столько же скорости, сколько приобретает при падении на тот же уровень, поэтому время спуска до уровня броска равно времени подъёма. Это равенство не относится к падению ниже исходного уровня, например к земле, если бросок был сделан с высоты.

График высоты показывает, как тело удаляется от уровня броска и затем возвращается к нему. Для примера на графике использованы v₀ = 20 м/с и g = 10 м/с²: вершина достигается через 2 с на высоте 20 м, а пересечение с осью времени после старта происходит через 4 с. Ветви параболы симметричны относительно момента достижения вершины.

Основные характеристики движения тела, брошенного вертикально вверх

В таблице ось направлена вверх, а координата отсчитывается от уровня броска; формулы относятся к движению без сопротивления воздуха. Для поиска максимума удобно сначала определить момент, когда скорость становится нулевой, а затем подставить его в формулу координаты. Если начало координат выбрано иначе, координату нужно записать с учётом начального значения.

Разбор задач

Задача 1. Скорость через одну секунду

Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найдём его скорость через 1 с и определим направление движения. Возьмём g = 10 м/с² и направим ось вверх, поэтому ускорение будет отрицательным.

1. Записываем формулу скорости: v = v₀ − gt.
2. Подставляем данные: v = 20 − 10 · 1 = 10 м/с.
3. Результат положительный, значит скорость направлена вверх и мяч ещё поднимается.

Ответ: 10 м/с вверх; мяч поднимается. Проверка по смыслу: за 1 с скорость уменьшилась на 10 м/с, но не успела стать нулевой.

Задача 2. Высота и время подъёма

Камень брошен вверх со скоростью 15 м/с. В верхней точке скорость равна нулю, поэтому сначала найдём время подъёма, а затем — высоту относительно точки броска. Используем g = 10 м/с².

1. Из равенства 0 = v₀ − gt получаем tпод = v₀/g = 15/10 = 1,5 с.
2. Подставляем время в формулу координаты: H = 15 · 1,5 − 10 · 1,5²/2.
3. Вычисляем: H = 22,5 − 11,25 = 11,25 м.

Ответ: время подъёма — 1,5 с, максимальная высота над уровнем броска — 11,25 м. Высота получилась положительной, а в момент её достижения скорость по условию равна нулю.

Задача 3. Бросок с высоты над землёй

Тело брошено вверх с высоты 5 м со скоростью 20 м/с. Требуется найти наибольшую высоту над землёй, время до падения и скорость перед ударом; примем g = 10 м/с². Здесь начало координат удобно совместить с землёй, поэтому начальная координата равна 5 м.

1. Высота над землёй описывается формулой h = 5 + 20t − 5t². В верхней точке скорость равна нулю: 20 − 10t = 0, откуда t = 2 с.
2. Находим максимальную высоту: h = 5 + 20 · 2 − 5 · 2² = 25 м. Это высота над землёй, а подъём относительно точки броска составил 20 м.
3. Для времени падения приравниваем высоту к нулю: 5 + 20t − 5t² = 0. Положительный корень равен t = 2 + √5 ≈ 4,24 с; второй корень отрицательный и описывает момент до броска.
4. Скорость перед ударом: v = 20 − 10 · 4,24 ≈ −22,4 м/с. Минус означает, что тело движется вниз.

Ответ: максимальная высота — 25 м над землёй, время полёта до земли — примерно 4,24 с, скорость перед ударом — примерно 22,4 м/с вниз. Модуль скорости при ударе больше начальной, потому что тело падает на уровень ниже точки броска.

Типичные ошибки

Принимают ускорение за ноль в верхней точке, потому что там скорость равна нулю. Скорость показывает изменение положения в данный миг, а ускорение — изменение самой скорости; притяжение Земли никуда не исчезает. Проверьте себя по формуле: при любом времени, в том числе при v = 0, ускорение равно −g.

Записывают ускорение свободного падения со знаком плюс, хотя ось направлена вверх. Ошибка возникает, если знак g запоминают отдельно от направления оси, а не задают через выбранное направление. Сверьте знаки в уравнениях: при оси вверх координата содержит −gt²/2, а скорость — −gt.

Путают максимальную высоту подъёма с высотой броска или с пройденным путём. Максимальная высота H = v₀²/(2g) отсчитывается от уровня старта; если тело бросили с высоты h₀ над землёй, его максимальная высота над землёй равна h₀ + H. Перед вычислением подпишите, относительно какого уровня измеряется искомая высота.

Оставляют отрицательное время как ответ или выбирают корень уравнения, не проверив его смысл. Отрицательный корень может соответствовать математическому продолжению движения до момента броска, но не времени после него. Подставьте найденное время в условие задачи и оставьте только корень t ≥ 0, который описывает нужное событие.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны формулы координаты и скорости при равноускоренном движении, умение задавать направления величин и переводить единицы измерения. Вертикальный бросок помогает понять свободное падение и служит основой для изучения движения тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту. График координаты позволяет определить высоту, а график скорости — увидеть, когда тело поднимается, достигает вершины и начинает падать.

Что запомнить

• При выборе вертикальной оси вверх ускорение свободного падения равно −g.
• Скорость тела при подъёме уменьшается на g за каждую секунду.
• В верхней точке скорость равна нулю, а ускорение не равно нулю.
• Время подъёма можно найти из условия v = 0.
• Максимальная высота подъёма относительно уровня броска равна v₀²/(2g).
• При возвращении на исходный уровень время полёта равно 2v₀/g.
• Без сопротивления воздуха движение вверх и вниз симметрично относительно верхней точки.