1. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Определения и обозначения

Движение тела, брошенного вертикально вверх — движение тела под действием силы тяжести после того, как ему сообщили начальную скорость вверх. После броска рука уже не поддерживает тело, а его движение определяет земное притяжение. Эту модель используют, чтобы рассчитывать высоту, скорость и время полёта.

Начальная скорость обозначается v₀ и задаёт скорость тела в момент броска. При вертикальном броске вверх она направлена вверх, поэтому при выбранной вверх оси её проекция положительна. Значение v₀ нужно знать, чтобы определить, как быстро тело поднимется и до какой высоты долетит.

Ускорение свободного падения обозначается g и направлено к Земле, то есть вниз. В задачах часто принимают g = 10 м/с²; более точное значение около поверхности Земли — 9,8 м/с². Это ускорение меняет скорость тела и при подъёме, и при падении.

Наивысшая точка траектории — верхнее положение тела во время полёта. В этой точке скорость на мгновение равна нулю, потому что тело перестаёт подниматься и начинает падать. Ускорение свободного падения при этом продолжает действовать, поэтому остановка не означает прекращения движения навсегда.

Как это устроено

Для описания движения выберем вертикальную ось y, направленную вверх. Вектор ускорения свободного падения направлен вниз, то есть против положительного направления оси, поэтому его проекция равна aᵧ = −g. Знак здесь не означает, что ускорение «меньше нуля» по величине: он указывает направление вектора относительно выбранной оси.

При равнопеременном движении проекция скорости меняется по закону v = v₀ + at. Подставляя a = −g, получаем v = v₀ − gt. На подъёме скорость положительна, но с каждой секундой становится меньше, потому что ускорение направлено против скорости. После прохождения верхней точки значение v становится отрицательным: это показывает, что тело движется вниз.

Координата при постоянном ускорении находится по формуле y = y₀ + v₀t + at²/2. С учётом a = −g получаем y = y₀ + v₀t − gt²/2. В формуле есть член с t², потому что за время t скорость успевает измениться под действием ускорения, а пройденное перемещение зависит не только от начальной скорости. Поэтому график координаты от времени является параболой.

В наивысшей точке v = 0. Подставим это условие в формулу скорости: 0 = v₀ − gt, откуда время подъёма tпод = v₀/g. Чтобы найти высоту над местом броска, можно подставить это время в формулу координаты и вычесть y₀. Получится h = v₀²/(2g): чем больше начальная скорость, тем выше поднимется тело.

Если тело возвращается на исходную высоту и сопротивлением воздуха пренебрегают, движение симметрично относительно верхней точки. На подъёме скорость уменьшается от v₀ до нуля, а на спуске её модуль увеличивается от нуля до v₀. Поэтому время спуска до исходного уровня равно времени подъёма, а скорость там равна −v₀: её модуль тот же, но направление обратное.

График показывает, как меняется координата тела при броске с уровня y₀ = 0 со скоростью 20 м/с. Его вершина приходится на 2 с и 20 м, а исходный уровень тело достигает через 4 с.

Величины и направления при движении тела, брошенного вертикально вверх

Пользуйся таблицей, чтобы различать направление скорости и ускорения: при подъёме они противоположны, а при падении совпадают. Учитывай также, что в верхней точке нулевой становится только скорость. Изменение координаты описывает, в какую сторону перемещается тело относительно выбранной оси.

Разбор задач

Скорость через заданное время

Условие. Тело бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найдите его скорость через 1 с после броска. Считать g = 10 м/с².

1. Выбираем ось вверх, как и направление начальной скорости. Тогда v₀ = 20 м/с, а проекция ускорения равна −g.
2. Используем формулу скорости v = v₀ − gt. Подставляем данные: v = 20 − 10 · 1 = 10 м/с.
3. Положительный результат означает, что через секунду тело ещё движется вверх. Его скорость стала меньше начальной из-за ускорения, направленного вниз.

Ответ: 10 м/с вверх.

Время подъёма и максимальная высота

Условие. Мяч бросили вверх со скоростью 15 м/с. Определите время подъёма и максимальную высоту. Считать g = 10 м/с².

1. В верхней точке скорость равна нулю, поэтому из v = v₀ − gt находим t = v₀/g = 15/10 = 1,5 с. Это время от броска до верхнего положения.
2. Подставляем время в формулу перемещения от места броска: h = v₀t − gt²/2. Получаем h = 15 · 1,5 − 10 · 1,5²/2 = 22,5 − 11,25 = 11,25 м.
3. Высота получена относительно места броска, а не обязательно относительно земли. Такой отсчёт удобен, потому что начало координат можно выбрать на уровне мяча в момент броска.

Ответ: время подъёма — 1,5 с, максимальная высота подъёма — 11,25 м.

Падение на землю с высоты

Условие. Тело бросили вверх с высоты 25 м над землёй со скоростью 20 м/с. Через какое время оно достигнет земли? Считать g = 10 м/с².

1. Выбираем начало координат на земле, а ось направляем вверх. Тогда y₀ = 25 м, начальная скорость v₀ = 20 м/с, а координата земли равна нулю.
2. Подставляем эти величины в формулу координаты: 0 = 25 + 20t − 5t². Переносим слагаемые и получаем 5t² − 20t − 25 = 0, или t² − 4t − 5 = 0.
3. Корни уравнения — t = 5 с и t = −1 с. Отрицательное время относится к моменту до броска, поэтому для падения выбираем положительный корень.

Ответ: тело достигнет земли через 5 с.

Типичные ошибки

Считать ускорение равным нулю в наивысшей точке. Так думают, потому что тело там на мгновение останавливается. Но нулю равна скорость, а сила тяжести продолжает действовать; проверь себя, вспомнив, что сразу после вершины тело начинает падать.

Записывать проекцию ускорения как +g при оси, направленной вверх. Ошибка возникает, если знак числа не сверяют с направлением вектора. Ускорение направлено вниз, против положительной оси, поэтому aᵧ = −g; проверяй знак по выбранному направлению координат.

Считать скорость постоянной при подъёме. Кажется, что раз тело продолжает двигаться вверх, его скорость должна сохраняться. На самом деле ускорение направлено против скорости и уменьшает её модуль; подстановка времени в v = v₀ − gt должна показывать уменьшение скорости.

Путать высоту подъёма с координатой тела. Координата зависит от того, где выбрано начало отсчёта, а высота подъёма отсчитывается от места броска. Чтобы проверить ответ, найди разность максимальной и начальной координат: h = yмакс − y₀.

Связь с другими темами

Для решения задач о вертикальном броске нужны формулы равнопеременного движения и умение находить проекции векторов на ось. Знание этих способов позволяет правильно учитывать направление скорости и ускорения, а выбор начала координат помогает составить уравнение положения тела.

Дальше те же идеи пригодятся при изучении свободного падения и движения тела, брошенного под углом к горизонту. Формулы и графики позволяют сравнивать, как тело движется на разных участках пути, и находить его положение в заданный момент.

Что запомнить

• Если ось направлена вверх, проекция ускорения свободного падения равна −g.
• Скорость тела описывается формулой v = v₀ − gt.
• Координата тела описывается формулой y = y₀ + v₀t − gt²/2.
• В наивысшей точке скорость равна нулю, а ускорение равно −g.
• Время подъёма до наивысшей точки равно v₀/g.
• Максимальная высота подъёма над местом броска равна v₀²/(2g).
• При возвращении на исходную высоту модуль скорости равен начальному, но направление скорости противоположно.