"Физика", Громов С.В., Родина Н.А., Белага В.В. и др./Под ред. Ю.А. Панебратцева
Движение тел вблизи поверхности Земли определяется гравитацией: планета притягивает тела и сообщает им ускорение, направленное вниз. Разберём свободное падение, вертикальный, горизонтальный и наклонный броски, научимся находить скорость, время, высоту и дальность полёта. Главные инструменты темы — уравнения равноускоренного движения, второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести, без учёта сопротивления воздуха. Например, так в идеальной модели падает камень. Это понятие позволяет применять простые уравнения равноускоренного движения.
Ускорение свободного падения — ускорение тела при свободном падении; у поверхности Земли g ≈ 9,8 м/с², оно направлено вниз. Буква g показывает, насколько изменяется скорость за одну секунду. Значение нужно для расчёта времени, скорости и высоты полёта.
Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает тело: Fтяж = mg. Здесь m — масса тела, а g — ускорение свободного падения. По этой формуле можно определить действие земного притяжения вблизи поверхности планеты.
Закон всемирного тяготения связывает силу притяжения двух тел с их массами и расстоянием между ними: F = Gm₁m₂/r². Чем больше массы, тем сильнее притяжение, а чем дальше тела друг от друга, тем оно слабее. Закон объясняет не только падение тел, но и движение планет и спутников.
Земля притягивает тело к своему центру, поэтому вектор силы тяжести направлен примерно вертикально вниз. По второму закону Ньютона ускорение имеет направление действующей силы, а его величина равна отношению силы к массе: a = Fтяж/m = mg/m = g. Масса сокращается, поэтому в вакууме тяжёлые и лёгкие тела получают одинаковое ускорение.
На небольшом участке поверхности Земли расстояние до её центра изменяется незначительно по сравнению с радиусом планеты. Поэтому сила тяжести и направление к центру почти постоянны, а g можно считать постоянным. Если тело движется вертикально и ось направлена вниз, то v = v₀ + gt и h = h₀ + v₀t + gt²/2; при оси вверх у ускорения появляется знак «−».
Брошенное тело одновременно перемещается по горизонтали и вертикали. Эти движения можно рассматривать отдельно, потому что горизонтальная составляющая силы тяжести равна нулю, а вертикальная действует независимо от горизонтальной скорости. Поэтому при горизонтальном броске x = v₀t, а по вертикали y = h − gt²/2; при наклонном броске используют v₀x = v₀ cos α и v₀y = v₀ sin α.
Вертикальная скорость тела, брошенного под углом, сначала уменьшается до нуля, а затем направляется вниз, тогда как горизонтальная скорость остаётся постоянной. Исключив время из уравнений координат, получают зависимость y от x с квадратом x, то есть параболу. Чем больше начальная скорость, тем выше и дальше может улететь тело; угол меняет распределение скорости между высотой и дальностью, а при броске и приземлении на одном уровне дальность максимальна при угле 45° без сопротивления воздуха.
Таблица помогает выбрать формулу по типу движения и сразу проверить направление ускорения. Перед подстановкой чисел определите, какая ось выбрана и какие величины относятся к горизонтали или вертикали. Формула закона тяготения применяется для взаимодействия двух тел, а остальные записи — главным образом для движения вблизи поверхности Земли.
| Явление или величина | Основная формула | Направление или характер движения | Условия применения |
|---|---|---|---|
| Свободное падение | v = v₀ + gt; h = h₀ + v₀t + gt²/2 | Прямолинейное равноускоренное движение вниз | Сопротивлением воздуха пренебрегают |
| Ускорение свободного падения | g ≈ 9,8 м/с² | Направлено к центру Земли | Небольшая высота над поверхностью Земли |
| Сила тяжести | Fтяж = mg | Направлена вертикально вниз | Тело находится в поле тяготения Земли |
| Закон всемирного тяготения | F = Gm₁m₂/r² | Вдоль линии, соединяющей тела | Для любых гравитационно взаимодействующих тел |
| Движение тела, брошенного горизонтально | x = v₀t; y = h − gt²/2 | Равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали | Начальная вертикальная скорость равна нулю |
Камень падает с высоты 20 м без начальной скорости. Нужно найти время падения и скорость перед ударом. Выберем ось вниз и возьмём g = 9,8 м/с².
Ответ: время падения примерно 2,02 с, скорость перед ударом — 19,8 м/с вниз. Чем дольше тело падает, тем больше становится его скорость.
Мяч бросили горизонтально со скоростью 8 м/с с высоты 5 м. По горизонтали начальная скорость равна 8 м/с, а по вертикали она равна нулю. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Ответ: мяч будет лететь около 1,01 с и пролетит по горизонтали примерно 8,1 м. Увеличение горизонтальной скорости изменило бы дальность, но не время падения с той же высоты.
Тело бросили со скоростью 20 м/с под углом 45° и оно возвращается на исходный уровень. Разложим скорость на составляющие: v₀x = 20 cos 45° ≈ 14,1 м/с, v₀y = 20 sin 45° ≈ 14,1 м/с.
Ответ: максимальная высота над точкой броска примерно 10,2 м, дальность — около 40,7 м. В расчёте использована идеальная модель без сопротивления воздуха.
Считать свободное падение движением с постоянной скоростью. Так ошибаются, потому что в быту слово «падение» связывают с движением вниз, но скорость при этом увеличивается. Проверьте себя: если в формуле есть g и время меняется, скорость v = v₀ + gt тоже меняется.
Неверно выбирать направление ускорения. Ошибка возникает, когда знак g ставят механически, не выбрав ось. Нарисуйте ось и стрелку ускорения: при одинаковом направлении знак «+», при противоположном — «−».
Применять одну формулу к горизонтальному и вертикальному движению. Горизонтальная составляющая при броске движется равномерно, а вертикальная — с ускорением g. Запишите отдельно x(t) и y(t), тогда разные роли скоростей и ускорения будут видны.
Путать массу и силу тяжести. Масса измеряется в килограммах и характеризует тело, а сила тяжести измеряется в ньютонах и равна mg. Проверьте единицы: результат для Fтяж должен иметь размерность Н.
Для решения задач нужны уравнения равноускоренного движения, сложение векторов и перевод единиц измерения. Связь со вторым законом Ньютона показывает, почему сила тяжести создаёт ускорение и почему масса сокращается в выражении для g. Эти знания используются при изучении спутников, орбит, закона сохранения энергии и космических полётов.
Почему тяжёлые и лёгкие тела в вакууме падают с одинаковым ускорением?
Сила тяжести пропорциональна массе тела: Fтяж = mg. По второму закону Ньютона a = Fтяж/m, поэтому масса сокращается и для всех тел получается одно и то же ускорение g.
Чем свободное падение отличается от обычного падения тела?
При свободном падении учитывают только силу тяжести, а сопротивлением воздуха пренебрегают. Обычное падение может заметно зависеть от формы тела, его площади и сопротивления воздуха.
Почему при горизонтальном броске время полёта не зависит от начальной горизонтальной скорости?
Время полёта определяется вертикальным движением: тело должно опуститься с заданной высоты до земли. Горизонтальная скорость влияет только на расстояние, которое тело успеет пролететь за это время.
Как выбрать знак ускорения свободного падения в формуле?
Сначала выберите положительное направление оси. Если ось направлена вниз, ускорение имеет знак «+», а если вверх — знак «−». Знак должен соответствовать проекции вектора ускорения на выбранную ось.
Почему значение ускорения свободного падения немного различается в разных местах Земли?
Земля вращается и не является идеальным шаром, поэтому расстояние до её центра и влияние вращения различаются на разных широтах. С высотой расстояние до центра увеличивается, и g немного уменьшается.
I. Движение тел вблизи поверхности земли и гравитация
