"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Тело, брошенное вертикально вверх, после броска движется под действием силы тяжести: сначала поднимается, затем на мгновение останавливается и падает. Это простая модель, которая помогает понять равнопеременное движение и научиться применять уравнения для скорости и координаты. Если направить ось вверх, ускорение равно −g, а скорость со временем уменьшается. По начальной скорости можно найти время подъёма, максимальную высоту и скорость тела при возвращении на исходный уровень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Движение тела, брошенного вертикально вверх — движение под действием силы тяжести после сообщения телу начальной скорости, направленной вверх. После броска рука уже не поддерживает тело, а его дальнейшее движение определяет тяжесть. Эта модель позволяет описывать подъём и падение общими уравнениями.
Начальная скорость v₀ — скорость тела в момент броска; её направление принимают положительным. Она задаёт, насколько быстро тело начинает подниматься, и влияет на высоту подъёма. В формулах ниже положительное направление оси тоже выбрано вверх.
Ускорение свободного падения g — постоянное ускорение, направленное вертикально вниз и противоположное начальной скорости. Вблизи поверхности Земли его модуль принимают примерно равным 9,8 м/с², а в простых расчётах часто округляют до 10 м/с². Знак ускорения в уравнениях зависит от направления выбранной оси.
Максимальная высота подъёма hₘₐₓ и время подъёма tₚ — соответственно наибольшая высота над точкой броска и время достижения этой высоты. Они описывают границы участка, на котором тело движется вверх. Для их нахождения используют условие, что в верхней точке скорость мгновенно равна нулю.
После броска вверх тело движется, но его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения — вниз. Поэтому за каждую секунду скорость уменьшается на величину g, если пренебречь сопротивлением воздуха. Движение замедляется не потому, что тяжесть исчезает, а именно потому, что ускорение направлено против скорости. Когда тело начинает падать, скорость и ускорение направлены одинаково, поэтому модуль скорости растёт.
Чтобы описать движение знаками, выбирают вертикальную ось и направляют её вверх. Координата y тела над точкой броска тогда положительна, а проекция ускорения равна a = −g, поскольку тяжесть направлена вниз. Уравнение скорости получается из формулы равнопеременного движения: v = v₀ − gt. Для координаты при y₀ = 0 получаем y = v₀t − gt²/2; начальная скорость даёт положительный вклад, а ускорение — отрицательный.
В верхней точке тело на мгновение перестаёт подниматься, поэтому его мгновенная скорость равна нулю. Это не означает, что на тело перестали действовать силы: Земля по-прежнему притягивает его. Следовательно, ускорение остаётся направленным вниз и равным −g при выбранной оси. Именно это ускорение сразу после остановки меняет направление скорости на противоположное.
Время подъёма находят из уравнения скорости, подставляя в него v = 0: 0 = v₀ − gtₚ. Отсюда tₚ = v₀/g: чем больше начальная скорость, тем дольше тело поднимается, а при большем g оно быстрее достигает верхней точки. Чтобы найти высоту, подставляют это время в уравнение координаты. После упрощения получается hₘₐₓ = v₀²/(2g), так что максимальная высота зависит от квадрата начальной скорости.
Если тело возвращается на уровень броска, его координата снова становится равной нулю. Уравнение y = v₀t − gt²/2 даёт ненулевой момент возвращения T = 2v₀/g, то есть время падения от верхней точки равно времени подъёма. В идеализированном движении без сопротивления воздуха перед возвращением скорость равна −v₀. Минус показывает направление вниз, а модуль скорости совпадает с начальным.
| Величина или этап движения | Формула | Направление или смысл |
|---|---|---|
| Ускорение | a = −g | Постоянно направлено вниз |
| Скорость в момент времени t | v = v₀ − gt | При подъёме уменьшается, в верхней точке равна нулю, затем становится отрицательной |
| Координата относительно точки броска | y = v₀t − gt²/2 | Зависимость координаты от времени имеет вид перевёрнутой параболы |
| Время подъёма | tₚ = v₀/g | Определяется условием v = 0 |
| Максимальная высота | hₘₐₓ = v₀²/(2g) | Достигается в верхней точке |
| Полное время возвращения на исходный уровень | T = 2v₀/g | Складывается из времени подъёма и времени падения |
Сначала определите, какую величину требуется найти: для скорости и координаты используйте уравнения с заданным временем, а для вершины траектории — формулы времени подъёма и максимальной высоты. Проверяйте, что в расчётах согласованы единицы измерения и направление оси. Отрицательное значение скорости означает движение вниз, а не ошибку.
Нужно найти момент, когда подъём заканчивается, а затем определить координату тела в этот момент. На вершине скорость равна нулю, поэтому сначала удобно воспользоваться уравнением скорости. Начальную скорость и ускорение уже выразили в согласованных единицах СИ.
Ответ: время подъёма — 2 с, максимальная высота — 20 м.
Здесь требуется состояние тела в заданный момент, а не в верхней точке. Поэтому применяем оба уравнения движения при t = 2 с; принимаем g = 10 м/с², как в стандартном школьном приближении. Сохраняем знак минус у вклада ускорения, поскольку ось направлена вверх.
Ответ: скорость равна 10 м/с вверх, высота над точкой броска — 40 м.
Полное время полёта до исходного уровня вдвое больше времени подъёма. Значит, чтобы найти начальную скорость, разделим 6 с пополам и воспользуемся формулой tₚ = v₀/g. Для расчёта примем g = 10 м/с². Скорость перед возвращением направлена вниз, поэтому при оси вверх она будет отрицательной.
Ответ: начальная скорость — 30 м/с, максимальная высота — 45 м, скорость перед возвращением — −30 м/с (вниз).
Считать ускорение равным нулю в верхней точке. Путают мгновенную остановку с прекращением действия тяжести. В верхней точке равна нулю только скорость, а ускорение по-прежнему равно −g. Проверка: спросите себя, какая сила продолжает менять движение тела сразу после вершины.
Записывать a = +g при оси, направленной вверх. Иногда знак ускорения выбирают по направлению начальной скорости, забывая, что ускорение направлено вниз. При положительной оси вверх проекция ускорения отрицательна: a = −g. Проверяйте знак по направлению вектора относительно выбранной оси.
Использовать y = gt²/2 для тела, брошенного вверх. Эта запись не учитывает начальную скорость и подходит для свободного падения из состояния покоя при подходящем выборе начала отсчёта. При начале отсчёта в точке броска нужно учитывать оба вклада: y = v₀t − gt²/2. Проверка: при t = 0 координата должна быть нулевой, а скорость — равной v₀.
Путать максимальную высоту с высотой через заданное время. Координата y(t) показывает положение тела в конкретный момент, а hₘₐₓ достигается только в верхней точке. Ошибка возникает, если подставить произвольное время в формулу максимальной высоты. Сначала найдите tₚ = v₀/g или проверьте, что условие задачи действительно описывает вершину.
Для этой темы нужны знания о равнопеременном движении, векторах скорости и ускорения, системе отсчёта и уравнениях движения. Та же модель помогает разбирать свободное падение и движение тела, брошенного горизонтально или под углом, хотя в последних случаях движение рассматривают по направлениям отдельно. Графики координаты, скорости и ускорения связывают формулы с кинематикой и подготавливают к изучению законов динамики.
На графике координаты от времени для примера с v₀ = 20 м/с и g = 10 м/с² тело достигает вершины через 2 с и возвращается на исходный уровень через 4 с.
Почему тело в верхней точке не имеет скорости, но продолжает двигаться?
В самой верхней точке скорость на мгновение равна нулю: тело прекращает подъём, прежде чем начать падать. Но сила тяжести продолжает действовать, поэтому ускорение направлено вниз и скорость снова начинает изменяться.
Почему ускорение при движении вверх отрицательное?
Знак ускорения зависит от выбора оси. Если положительное направление направлено вверх, ускорение свободного падения направлено противоположно оси, поэтому a = −g.
Можно ли считать движение вверх и падение одним и тем же движением?
Да, если пренебречь сопротивлением воздуха, на всём пути действует одно и то же ускорение свободного падения, направленное вниз. При этом скорость меняет направление: во время подъёма она положительна, а при падении — отрицательна, если ось направлена вверх.
Как найти максимальную высоту, если время подъёма неизвестно?
Используйте формулу hₘₐₓ = v₀²/(2g), для которой время подъёма не требуется. Она получается из уравнений движения при условии, что в верхней точке скорость равна нулю.
Почему при возвращении на исходный уровень скорость по модулю равна начальной?
При отсутствии сопротивления воздуха движение симметрично: на подъём и падение до исходного уровня уходит одинаковое время. За это время ускорение возвращает телу исходный модуль скорости, но направление скорости становится противоположным.
2. Движение тела, брошенного вертикально вверх
